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組み分けの問題その2

2016.05.04 00:21|数学
どもども。

前回に引き続いて組分けの問題について考えていきます~ ぺんぎんmini


問5:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法は何通りあるか?

A組,B組,C組のような区別は設けられていません~
まずはオーソドックスに考えていきます~
A組(1人),B組(1人),C組(4人)のように組の区別を設けてみると
A組に入れる人の選び方が  通りあり,その各々に対してB組に入れる人の選び方が  通りあります。
残った4人が自動的にC組です。このとき,  (通り) となりますが,
実際はA組,B組,C組のような区別は無いので,補正が必要です。
問4と同様に3!で割ればいいという発想に至りがちですがそれは誤りです~
問4で 3!=6 で割ったのは同じ分け方が6重カウントされていたからでした。
問5の場合,6重ではなくて2重カウントなので2で割ればOKなのです~
6人をa,b,c,d,e,fとしたとき,「A:a B:b C:cdef」と「A:b B:a C:cdef」 は同じ分け方扱いになりますが,
これ以上同じ分け方に分類されるものは30通りの中には含まれていないことに気をつけましょう。
同じ人数になる組がいくつあるかというところに着目するのがポイントです。
以上から正解は 30÷2=15(通り) になります~

順列方式で考えると  (通り) ということになりますね。

自分が6人の中の1人と考える方式で考えてみると,
自分が「1人の組」に入るときは,もう一人誰かが「1人の組」に入るのでその1人の選び方が  通りで,
残った4人が「4人の組」に入ります。自分が「4人の組」に入るときは,自分と同じ組に入る3人の選び方が
 通りで,残った2人がそれぞれ「1人の組」を作ります。
したがって,  (通り) で答えが出ます~

多項式の展開に着目すると,  の展開式における   の係数30を求めて
2!で割ると良いです~


問6:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

A組,B組のような区別はなく,組分ける人数がともに3人パターンの問題ですが,
「特定の2人が同じ組ならない」という付加条件が設定されています。
このような問題ではまず「特定の2人」をaとbとしてみると,
「aのいる方の組」と「bのいる方の組」という区別が生じるので,
あとは「aのいる方の組」に入れる2人の選び方が  通りあることから
正解は  (通り) となります~ dog_happy.gif

付加条件がある場合は,全体の場合の数から余事象の場合の数を引くという発想も使うことが出来ます。
全体の場合の数は問3の答えより10通りです。
ここから,aとbが同じ組になるパターンを取り除けば良いことになります。
aとbが同じ組になる場合は,あとはその組に入る最後の1人を選んでくればよいのだから  通りです。
したがって,  (通り) となります。

順列方式で考えてみましょう~
「aのいる方の組」をA組,「bのいる方の組」をB組として残り4人について先程までと同様に考えて
(通り) と求められます。

自分が6人のうちの1人だという方式で考えてみます。
このとき,自分が「特定の2人」に含まれると想定するのか含まれないと想定するのかで
2パターンの解法が考えられます。
まず自分が特定の2人のうちの1人だと仮定します。もう1人をaとしましょう~
自分と同じ組になる残り2人を決めれば良く,a以外から選ぶので  (通り) となります~
一方で,自分が特定の2人a,b以外の人物であると仮定してみます。
自分がaと同じ組になる場合が,同じ組になる最後の1人の選び方を考えて  通り,
bと同じ組になる場合も  通り。
ゆえに,  (通り) となります。

多項式を用いると,  の展開式における  の係数を考えて6通りです。



問7:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問6の類題ですが,3組に分けるタイプに進化しています。
「特定の2人」をaとbとしてみるところは前問と一緒です。
このときaとbがそれぞれ「1人の組」に入る場合と,2人のうち1人だけが「1人の組」に入る場合とがあります。
前者は1通りしか無いです。
後者は,aが「1人の組」に入るときが,「4人の組」に入らない1人の選び方を考えて  通りです。
bが「1人の組」に入るときも同様なので,結果として  (通り) が正解です~ m_0038.gif

余事象を考えてみます。
全体の場合の数は問5より15通りです。aとbが同じ組になるのは2人が「4人の組」に入るときです。
この組に入る残り2人の選び方を考えればよいから,  通りとなるので,
正解は  (通り) です。

順列方式でも同様に   (通り) とすることができます~

自分が6人のうちの1人だという方式で考えてみます。
まず自分が特定の2人のうちの1人だと仮定します。もう1人をaとしましょう~
自分が「1人の組」に入るとしたら,残りの5人はどのような組み分け方をされても良いので
もう1つの「1人の組」に入る人物の選び方を考えて  通りあります。
自分が「4人の組」に入るとしたら,残りの3人をa以外の4人から選べば3組とも決まるので  通りです。
したがって,  (通り) となります。

一方で,自分が特定の2人に含まれないとしましょう。特定の2人をa,bとします。
自分が「1人の組」にいるときは,aかbのどちらか1人がもう1つの「1人の組」に入るので2通りです。
自分が「4人の組」にいるときは,自分と同じ組にaもbもいないパターンは1通りです。
aだけが同じ組にいる場合は,b以外の3人から同じ組になる残り2人を選べばいいので  通り。
bだけが同じ組にいる場合も同様なので,  (通り) と求められます。

多項式を用いると,  の展開式における  の係数1,  の係数4の2倍の8,
この2つの和を考えて 1+8=9(通り) です。



問8:6人の生徒をA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

ここでちょっと趣の異なる問題が出てきました~
今までの問題は各組に入れる人数が決まっていましたが,今回は決まっていません。
「A組:2人 B組:4人」かもしれないし「A組:1人 B組:5人」かもしれません。
「A組:0人 B組:6人」または「A組:6人 B組:0人」の場合は1組にしか分かれていないので除外しますが,
このような分け方も特殊パターンとして含めるという指示がある場合もあるので注意です。
「A組:k人 B組:(6-k)人」とすると, k=1,2,3,4,5 の場合があるので,
それぞれについて問1,問2のように考えていけば良いので,
 (通り) が正解です。

また,次のような考え方もできます~
1人につきA組に入れるかB組に入れるかの2通りあり,それが6人分なので積の法則より
 (通り) がまず出てきますが,この中には「A組:0人 B組:6人」と
「A組:6人 B組:0人」の場合が含まれているので,正解は 64-2=62(通り) となります m_0172.gif

上記の考え方は順列の考え方でも同様に適用されます。
「AABABB」や「BABAAB」のようなAとBの2種類の文字からなる長さ6の文字列の個数を求めればよいわけです。

6人のうちの1人が自分である方式ではどうでしょうか。
自分以外の5人についてそれぞれ「自分と同じ組」か「違う組」かの2通りの選択があり,
自分自身はA組かB組かの2通りの選択があります。
残り5人が全員「自分と同じ組」に入るパターンは除かなければいけません。
したがって,  (通り) となります~

多項式を用いると,  の展開式における  以外のすべての項の係数の和を求める
という発想で解けます。その計算をするならば,  よりも  を考えて,
 (通り) とするのが賢いところでしょう。



問9:6人の生徒を2組に分ける方法は何通りあるか?

問8と似ていますが組の区別が無くなっています。
「2人と4人」のような分け方だと人数の違いで組の区別ができますが,「3人と3人」の場合は区別が出来ません。
「1人と5人」,「2人と4人」,「3人と3人」の3パターンの分け方に分類できるので
 (通り) が正解です~

また,はじめにA組,B組という区別を作っておいて最後に区別をなくすという考え方でも解けます。
その場合は問8の答えを2で割れば良いので, 62÷2=31(通り)  になります。

自分が6人の中にいると考えると,
自分以外の5人についてそれぞれ「自分と同じ組」か「違う組」かの2通りの選択があり,
全員「自分と同じ組」に入るパターンは除くので,  と求められます~ onigiri_1.gif


多項式を用いるなら問8と同様に計算して2で割ればよいです。






   
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