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2016年前期東北大入試理系数学 第1問

2016.05.04 14:11|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第1問について考えます~


問題はこちら~ くりmini

2016to1.jpg

図形の性質の単元からの出題ですね~
なんていうか,大学入試でなくても高校入試の問題としてもいけそうな感じがします。
そしてそういう風に感じる人にとっては恐らく全く難しくない問題だと思います~
方針を立てるだけなら2分以内に終わるかもしれません。
そんなんで良いのかと逆に不安になります。


三角形の垂心といえば,各頂点から対辺へ下した3本の垂線が1点で交わるところの点のことですね。
90°の角が複数出てくるため,円に内接する四角形が複数隠れています。
それらに着目し円周角の定理を駆使していくというのが今回の基本方針です~ yotuba14.gif

(1)は早速,円に内接する四角形を見つけ出す問題です~
四角形BCEF,AEHFが円に内接することを示します。
ちなみに四角形が円に内接するということは,4頂点が同一円周上にあると言い換えることも出来ます。
このようなことを証明するのによく用いられる方法は,
・円周角の定理の逆
・円に内接する四角形の性質の逆

です。四角形BCEFが円に内接することを示すのには円周角の定理の逆を使うのが良いでしょう~
すなわち, ∠BEC=∠BFC が言えれば十分です。
四角形AEHFの方は内接四角形の性質の逆を使うのが楽そうです~
すなわち,対角の和が180°になっていることを確かめます~



c1_201605041126448bb.jpg


同じように四角形CDHE,BDHFなども円に内接します。
これら円に内接する四角形たちはどれも別々の円に内接しています。
複数の円が登場してくるのでややこしいのですが,
それらの間を仲介してくれるのが円周角の定理です。
例えば, ∠EBF は四角形BCEFが内接する円の弧EFに関する円周角という見方もあれば
四角形BDHFが内接する円の弧HFに関する円周角という見方もあります。
それぞれの円について円周角の定理を用いることで, ∠ECF=∠EBF=∠FDH
のような関係式が得られたりします~
こういった手法を駆使して(2)を解いてみます~

c2_201605041126449f1.jpg

c3_2016050411264505a.jpg



このように比較的容易に証明ができてしまう大問なのですが,
敢えてここで座標導入をしてみましょう~
座標を利用した証明を考えてみます。
下図のようにA(0,a),B(b,0),C(c,0)となるようにします。

BCを直径とする円およびAHを直径とする円に2点E,Fも乗っていることを
計算ゴリ押しで確かめてみます~


c4_201605041126453ad.jpg

だいぶゴチャゴチャしてきましたが,ここで更にゴチャゴチャします。
EとFのx座標,y座標を代入してみます。


c5_201605041126460a5.jpg
c6_20160504112646900.jpg



だいぶ面倒ですね。ただ,はじめからBCを直径とする円,AHを直径とする円に的を絞った辺りが実は小賢しくて,
それに気付ける人ならはじめから最初の解法のようにやれるんですよね。
だから実際に座標で攻めていく人がいたとしたら,3点B,C,Eを通る円を 
とおいて,座標代入により p,q,r を求めて,その円の上に更にFも乗っていることを確かめていく
という方式になると思います。

座標代入の威力が発揮できそうなのはどちらかと言うと(2)です。
示すべき事柄は上の図でいうと ∠AOE=∠AOF ですが, ∠AOC=∠AOB=90° なので
このとき ∠EOC=∠FOB も成り立ちます。これが成り立っていることを確かめるには,
直線OE,OFの傾きが互いに符号が異なるだけで絶対値が同じであることを見ればいいわけです。
EもFも座標は既に分かっているので,こちらはすぐに片付きます~ syumai.gif



c7_20160504112728029.jpg
c8_20160504112728e4b.jpg


もう少し面倒にはなりますが,OAが ∠EOF の二等分線になっていることを確かめるというアプローチもあります。
直線EFとy軸の交点をRとしたとき, OE:OF=ER:FR が成り立っていることを確認できれば
角の二等分線の性質の逆から上記のことが確認できます~


c9_2016050411272965b.jpg
c10_20160504112729f48.jpg


座標を用いる用いないにかかわらず,ほかにも 
 の値が等しいことを確認することから示したり,
△ABE∽△ACF,△ABH∽△ADF,△ACH∽△ADE の連携で示したり,
円に内接する四角形ABDEの性質から ∠CDE=∠EAB, 同様に四角形ACDFについて ∠BDF=∠FAC
が成り立つので ∠CDE=∠BDF を導くことから示していくなど,
色々なアプローチが考えられそうです suika.gif



ちなみに,△DEFは垂足三角形と呼ばれます。
よくよく見ると任意の鋭角三角形に対し,その垂心は垂足三角形の内心であることを示すことが今回の大問のテーマでした。
なお鈍角三角形の垂心は,垂足三角形の傍心と一致します。





   
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