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2016年前期東北大入試理系数学 第2問

2016.05.05 00:14|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第2問を見ていきます~

問題はこちら~ 算数mini

2016to2.jpg

整数問題です~
この試験が行われたのは26日でしたが,前日の25日には京大でたまたま似たような問題が出題されています~
それをチラッと解答速報で見てた受験生がいれば,その人にとっては何となく有利になったかもしれませんが,
恐らくそんな奇特な受験生はまず居なかったことでしょう。

この大問は(2)がメインです。(1)は(2)を解く上でのサポートをしてくれる立ち位置にあります。
とりあえずサクッと(1)を処理してしまいましょう~ dog_happy.gif

典型的な数学的帰納法の練習問題ですね。
n≧6のときに  が成り立つことを確かめる設問です~
指数関数と2次関数では指数関数の方が圧倒的に増大のスピードが早いので,
ある程度 n が大きくなったら  の方が大きくなるであろうことは容易に予想できますね。

今回は数学的帰納法で示すよう指示がされています。
・n=6のときに正しいこと
・6以上のkに対し, n=k で正しいなら n=k+1 のときも正しい

この2点を確かめれば良いことになります isona.gif

数学的帰納法を用いて A(n)>B(n) 型の不等式の証明をする場合,
途中で A(k+1)>B(k+1) を示していく場面がありますが,
A(k+1)>C(k+1) かつ C(k+1)>B(k+1) を満たす C(k+1) を見つけ出すという手法が
有効になることが結構多いです~
今回の証明では,  を確かめる際に
 という仲介役を挟んでいくことが出来ます~


d1_20160504193221b88.jpg

なお,数学的帰納法を用いなくても証明できます。
一般項が  で定義される数列  (n≧1) が
単調減少することを比をとって考えていきます~


d6_20160517002220939.jpg
 

ここからが本番です~

試しに p=2 の場合について考えてみることにしましょう~



(1)で考えた不等式にすごく似た形をしています。
ここが(1)の不等式の使い所ですよ~
q≧6 になってしまうと(1)の不等式より絶対に  になってしまうため,
目標の等式を満たすことが無くなってしまうのです。
そうすると, q=2,3,5 の中に条件を呑むものがあるかどうかを調べるだけで 
p=2 の場合の考察は終わってしまうのです ipon.gif


d2_201605041932225b7.jpg



p≧3 の場合を考えていきましょう~
何をもって絞り込みしていくかというのがポイントになりますが,うまい着眼点は偶奇性です。
p は奇素数なので  も奇数になってしまいます。
それと等号で結ばれている  も奇数でなければいけません。
このことから  は偶数でなければならないことが言えて,
そのことから更に q=2 以外の候補は無いことまで分かってしまいます~ m_0025.gif
つまり  を満たす p を探すだけでいいんですね。
(1)のときにも触れたように,指数関数と2次関数では指数のほうが圧倒的に増大の速度が早いので
やや小さい p について考えるだけで十分です。
どのくらいの p で考えれば十分なのか,そのヒントは再び(1)の不等式から見い出すことが出来ます~

d3_20160504193222baf.jpg


 のような形の項が出てくると,ついついフェルマーの小定理を活用できないかみたいな気持ちが
湧いてきますが,そこに着眼すると(1)の結果を利用しなくても答えを出すことが出来たりします~ m_0005.gif

pとqは互いに素なのでフェルマーの小定理より  はqの倍数であり,
  はpの倍数です。このことを利用していきます~


d4_201605041932238b4.jpg
d5_20160504193223166.jpg
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