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2016年前期東北大入試理系数学 第3問

2016.05.06 01:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第3問をみてみます~


問題はこちら~~ 箱ドットおにおん2mini


2016to3.jpg


確率の問題です~
東北大数学は確率の大問がほぼ必ず出てきますね。
条件を満たすものを列挙しながらカウントしていくというシンプルなタイプの問題です~

3回の出た目の組 (a,b,c) は  (通り) であることは毎度通りです。
(1)は出た目の3数がある直角三角形の3辺になっている確率を求めるものです。
三平方の定理の逆から, 
のいずれかが成り立てば良いことが分かります~ yotuba10.gif

ところで,三平方の定理の逆は例えば次のような書かれ方をしていますね。
「三角形の3辺 a,b,c について,  が成り立つならばこの三角形は
 c を斜辺とする直角三角形である」


この主張と
「3つの正の数 a,b,c について,  が成り立つならば,3辺の長さが a,b,c で
特に斜辺の長さが c であるような直角三角形が存在する」


とでは,指す内容のニュアンスが微妙に違っています。
前者の場合, a,b,c ははじめから三角形の成立条件を満たした3数であることが仮定されています。
三角形の成立条件とは,  が全て成り立たなければならない
というもので,  のような書かれ方をするときもあります。
この条件式を満たしている3数 a,b,c について述べているのが前者の主張であって,
後者は成立条件を満たしていることをまだ確認していない3正数 a,b,c についての主張です。
確かに微妙に内容が違いますね。

果たして後者の主張もちゃんと真なのでしょうか。
一応簡単に確認をしておきます~
  が成り立っていれば自動的に三角形の成立条件も満たすことを見てみます。
この等式が成り立つとき,  から,a<c かつ b<c がまず成り立ちますね。
 より,  が従います。
同様に  が従います。
また,  より,  も従います。
以上から確かに三角形の成立条件を満たすことが分かりました。
このことから,あとはよく見かける形での三平方の定理の逆より命題が真であることが言えます。


では c が斜辺の長さであるとして,  を満たす (a,b,c) が
いくつあるか見ていきたいと思います~ tawa02.gif
 の値の表を描いてみると以下のようになり,平方数になるのは
 のときに限られてしまうことが見て取れます~
3辺の長さが3,4,5の直角三角形は非常におなじみのものですね~


e1_20160505184315898.jpg

e2_20160505170813e8c.jpg


 の値が平方数になるもので絞り込みをかけたのが今の考え方でしたが,
今度は c の値から絞り込みをかけてみたいと思います~
候補となる c の値は1,2,3,4,5,6の6種類しかないので,
それらに対応できる a,b の値がどれだけあるか見てみます star-ani01.gif



e3_2016050517081428d.jpg
 e4_2016050517081457a.jpg


(2)について見ていきましょう~
今度は鈍角三角形になる確率を求めます~
鈍角三角形というのは,鈍角であるような内角を持つ三角形のことですが,
もう少し詳しくいうと,最大辺の対角にあたる内角が鈍角であるような三角形です。
最大辺の長さが c であると仮定し,その対角の大きさを θ だとすると,
cosθ<0 であることから余弦定理より

が成り立たなければいけません~ rose03.gif

よって,  が成り立つような (a,b,c) を探していけば良いですね。
ただし,(1)とは違ってこの不等式を満たすだけでは不十分です。
三角形の成立条件まで成立している保証がないのです~
例えば (a,b,c)=(1,1,6) という組み合わせだとアウトですね。

ちなみに, c が最長辺と分かっている場合は,成立条件は  に簡約化出来ます。
 は必ず成り立つからです oukan.gif



e5_201605051708145c0.jpg
e6_201605051708155c7.jpg
e7_2016050517085308b.jpg



ここで,xy平面上の図形を活用した(1)(2)のアプローチを見てみます。
r>0 に対して曲線   を考えます~
加えて,直線  を考えます~
 上にある格子点の個数だけ  を満たす (a,b,c) が存在し,
 と  で囲まれた領域(境界除く)を  とすれば  上にある
格子点の個数だけ  を満たす (a,b,c) が存在します~ kinoko03(1).gif



e8_201605051708537c1.jpg
e9_201605051708549cf.jpg


e11_20160505223704bfb.jpg





                    e10_20160505170854608.jpg






      
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