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2016年前期東北大入試理系数学 第4問

2016.05.13 17:56|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の第4問です~

問題はこちら~ げろ

2016to4_20160513140123d0f.jpg


複素数係数の多項式に関する問題です~
ド・モアブルの定理を用いる場面もあるので単元としては複素数平面にあたるのですが
図形的な要素はあまり出てきません。

まず(1)は与えられた多項式 P(x) を降べきの順に整理したときの各次の係数を求めるものです。
この設問を解くことによって, P(x) の2通りの表示を得ることができるので,
x に具体的な値を代入したときに得られる値も2通りの表示で記述できるようになります。
そのことと(2)の結果を(3)の設問に利用していくという流れで進んでいきます~

素直に展開すれば係数を求めることが出来ますね。
二項定理の出番です。
 は似たような形の多項式です。
そのせいで引き算によって打ち消し合う項がたくさん出てきます。
P(x) は一見すると7次のように見えますが,7次の項は打ち消し合って消えてしまい,6次多項式になっています。

f1_20160512231242a76.jpg


与えられた P(x) の形から,複素数 z の虚部を表す 
を連想するかもしれません clover.gif



という変形をすれば楽にやれそうです。
しかし,  となるのは x が実数の場合です。
例えば x=i の場合だと成り立たないのが分かりますね。
従って, P(x) を複素数係数実変数多項式として捉えれば上記のような方針で展開することが出来ます。


f2_2016051223124247f.jpg


x の範囲が実数全体であるときは 
が x に関する恒等式であることが分かりましたが, x の範囲を複素数全体としたときもそう言えるのでしょうか
冪級数展開における係数の一意性だとか複素関数論の一致の定理だとか,上級な知識があると
そんなことは当たり前と言ってしまえますが,高校数学の範疇では果たしてどこまでが当たり前なんでしょうね。

ここで,ある複素数変数多項式 F(x) が任意の実数に対して F(x)=0 であるとき恒等的に F(x)=0
であることを確認してみます。簡単のため F(x) が2次多項式の場合を考えてみますが,一般の次数でも同様です。
 とおきましょう~
F(0)=F(1)=F(-1)=0 なので, 
これを解いて,  となり,恒等的に F(x)=0 となってしまいます。

これは教科書に載っている数値代入法を用いた係数比較法の根拠の説明ぼぼそのまんまですね

さて,  に上の主張を当てはめてみることで
 が任意の複素数に対しても成り立つことが分かります。


では(2)に進んでいきましょう~
0<θ<π であるときに  を計算します。
ド・モアブルの定理が活用できることに気付ければ勝利です~
(1)の結果の式に代入していくと泥沼コースだと思います。


f3_20160512231243a7c.jpg



(1)と(2)の結果を使いながら(3)に挑んでいきます~
k=1,2,3 に対して  とおくと,  が成り立っています。
また, P(x) と Q(x) については  が成り立っています。

これらの事実から  を示すことが出来ます。
そして,このことから  が3次方程式 Q(x)=0 の相異なる3解であることが分かります。
ゆえに,問われている値は3次方程式の解と係数の関係を使って求めることが出来ます~
なお,  が相異なる値であることにもしっかり触れておきましょう~ korobo.gif




  f4_20160512231243b07.jpg
f6_2016051223124423d.jpg


f5_201605122312437af.jpg




(3)は(1)(2)のような誘導無しではなかなか難しいですね。
試しにトライしてみましょう~ kitune.gif



f7_201605122313218b6.jpg

これら3つの値を求めるために基本対称式 A+B+C, AB+BC+CA, ABC の値を求めていきたいと思います。
そのため,相反方程式  に着目します~

f8_20160512231322316.jpg
f9_2016051223132265e.jpg
f10_201605122313234ca.jpg
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