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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(A) その3

2012.09.26 00:00|高校入試問題
どもども。

今回もこの春の宮城県公立高校入試の数学のA問題選択5番の続きをやっていきます~~yotuba13.gif

前回は3の図形の問題をやっていました~

問題はこちら~算数mini

mon5a3.jpg

n1.jpg


mon5a4.jpg

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-28.html


今回は(3)からやっていきます~
前回の話も利用しますので上のリンクを参考にしてくださいudon(1).gif


(3)はAB=6cmのとき,FGの長さを求めよ
というものです。

三角形の相似関係から得られる線分比の関係式を駆使しますが
それだけでは解けません。
三平方の定理も活用しなければいけないのですよー!onpu07.gif

なんとかしてAEの長さを求めて
あとは線分比の関係でFGを求めたいです

△ABCは正三角形なので,30°-60°-90°型の直角三角形や
60°や120°のような角があちこちにちょこちょこ現れます。
それらを用いた1:2:√3絡みの線分比の関係に着目することが大事です。
あとはうまい具合に三平方の定理で長さを求めていけばいいですmikan01.gif


どこに直角三角形を見い出すかによって解法が変わってくるので,
幾つかのパターンを紹介してみたいと思いますmayo01.gif



AからDEに垂線を下す

下の図のようにAからDEに垂線AHを下してみます。
このとき,△ADHは30°-60°-90°型の直角三角形で
AD=10cmがわかっているので
AHとDHが求められれます。
これでAH,HEの長さが分かるので△AHEにおいて三平方の定理から
AEの長さが計算できますkusyami02.gif

n9.jpg
n10.jpg
n11.jpg



頑張って答えを求めたのに,√76=2√19に気付けずに,
答えを4√76/35として終わってしまってる人は多かったんじゃないかという
気がします。最後の最後まで油断が出来ませんね!!kouji-ani.gif



さて,AEの長ささえ求めてしまえば,あとは

 FG=(2/7)FE (上の解法)
 FG=(4/25)AG
 FG=(4/35)AE
 FG=FE-GE
 FG=AG-AF
 FG=AE-AF-GE


などに着目する方法でFGを求めることが出来ます。

例えば,AF:FG:GE=21:4:10を利用して解く場合はこんな感じになります


o1.jpg

o2.jpg



EからADに垂線を下す

次は下の図のようにEからADに垂線EIを下してみましょう
今度は△EDIが30°-60°-90°型の直角三角形ですよ~

o3.jpg


AEを求めたらあとは既に挙げた解法と同様ですkoinoburi10.gif


EからBCに垂線を下す

今度はEからBCに垂線EJを下して考えてみます~
すると△ECJが30°-60°-90°型の直角三角形ですよ~

o4.jpg
o5.jpg

この解法の場合はAEではなくてFEを計算してますねk-01.gif



DEとACを延長する

DEとACを延長して交点をKとすると,
△ADKは正三角形になります~
EからCKに垂線ELを下すと,△EKL≡△ECLで
どちらの三角形も30°-60°-90°型の直角三角形ですjya-ji01.gif

o6.jpg
o7.jpg

AEを求めたあとは他の解法と同様です~


AEの代わりにDCを求める

一般に下の図のような台形ABCDが与えられたとき,
∠B=∠Cであるときは,左右対称な台形になり,
これを等脚台形とよびます。
左右対称なのでAB=DC,AC=DB,∠ABD=∠DCA
などが成り立ちます~

o8.jpg


さて,今回の図では,傾いてるので分かりにくいかもしれないですが
台形CADEは∠CAD=∠EDA=60°が成り立っていますので,
実は等脚台形なんですよ~~hiyoko03(1).gif

したがってAE=DCになっているので,AEの長さを求める代わりにDCの長さを求めても構いません。

その際もやはり適当な位置に垂線を下して直角三角形に三平方の定理を適用します。

例えばCからADに垂線を下したりすればよいですね
基本的にやることはAEを求める過程と特に違いはありません~

AE=DCを利用した解法例を次に挙げてみますね~



△AGC∽△CGFを利用する

△CFG∽△DEG≡ACGより△AGC∽△CGFが成り立ちます~
ここで得られる線分比の関係からFGを求めるという発想もありますよheri01.gif


o11.jpg
o12.jpg



メネラウスの定理を利用する

最後は,高校受験の時点ではちょっとマニアックな知識になりますが
メネラウスの定理を使ってみたいと思います~
高校数学の範囲では結構メジャーになるんですが,
内容は以下のとおりですhana07.gif

o9.jpg

三角形に直線が交わってるシチュエーションで成り立つ定理だと思えばよいです~

これを利用してAF:FG:GEを求めてみたいと思います~
△ADGと直線BCに関してメネラウスの定理を使ってみます


o10.jpg





いろんな解法が考えられる問題でした~
次回はB問題のほうの大問5をやっていきますよ~



     
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ジャンル:学校・教育

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