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2016年前期東北大入試理系数学 第5問

2016.05.13 23:32|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第5問を見てみましょう~


問題はこちら~~ mini


2016to5.jpg


空間図形の問題です~
状況がイメージしづらいところがありますが,それをどれだけちゃんと把握できたかがポイントになりそうです。

g1_20160513181821131.jpg

2つの平面 α,β の交線が ℓ で,その上に点Oがあります。
Oを通るα上の直線 m, β上の直線 n があり, ℓ⊥m, ℓ⊥n という状況です。
Pは m 上に,Qは n 上にあるので,2直線 m, n を含む平面を γ とすると,
O,P,Q,T といった点はすべてγ上にあり,また ℓ⊥γ になっています~ sakura.gif

△OPQ に着目してみましょう~
3辺の長さが分かっていて,三平方の定理の逆からこの三角形は 
∠O=30°, ∠P=90°, ∠Q=60° であるような直角三角形になっています~

ここでTを中心とする球Sを考えるわけですが,この球面の平面γによる切り口の円に注目してみましょう~
Sの中心Tを含んでいるので切り口の円の半径は  です。
その円周は △OPQ の2辺 OP, OQ と交わり,辺 PQ とは交わりません。
OP, OQ との交点をそれぞれ A,B とします。

(1)の設問は球面Sの平面αによる切り口の円の面積を求めるものです。
この円の半径が分かると良いですね。
「図形と方程式」の単元では「円が直線によって切り取られる弦の長さを求める問題」が定番問題になっていますが,
それのちょうど3次元版を考えます。そこで,中心Tと平面αの距離を求めたいと思います。
ここで,Tからαへ下した垂線の足がPと一致するということに気付かなければいけません~ onegai03t.gif
このことは, ℓ⊥γ であることが凄く効いています。
この条件がないと,垂線の足は下図のようによく分からない位置にあることになります。

       g3_20160513181122d57.jpg



しかし実際は下図のようにPは切り口の円の中心になっているのです。


g4_20160513181122608.jpg


平面αは2直線 ℓ, m を含む平面として特徴づけられています。
ℓ の方向ベクトルの1つを  とします。
また, m の方向ベクトルの1つは  です。
ℓ⊥γ なので  が成り立ち, ∠TPO=90° より  が成り立つので,
 は平面α上の2つの1次独立なベクトル  と垂直です。
これは  がαに垂直であることを意味しています~
したがってPは垂線の足になっているのです~ mikan01.gif




g2_201605131811211ef.jpg
g5_20160513181123cb3.jpg
g6_20160513181123034.jpg



(2)をみてみます。(1)と同様に考えると,球面Sの平面βによる切り口の円も計算できます~
TからOQへ下した垂線の足を H とすると,  より  が成り立つので,
HはTから平面βへ下した垂線の足と一致します~ mituba01.gif



g7_20160513181203536.jpg
g8_20160513181203679.jpg




あとは簡単な2次関数の計算で解決です。
難所はもう越えました~



g9_20160513181203ac1.jpg





一連の問題を空間座標を用いて解き直してみます~~ milk.gif

下図のようにPを原点とし,  とし, ℓ // z軸 となるように
xyz座標を入れることが出来ます~
座標導入の利点としては図形の位置関係などの幾何的な考察を軽減し計算で処理してしまえることなどが挙げられます。
例えば球面Sは  という方程式で表され,
平面 α:y=0 との交円はα上で  すなわち 
という方程式で表され,半径が  の円であることが容易に分かってしまいます koinoburi06.gif



g10_201605131812042a7.jpg
g11_201605131812046bc.jpg
g12_201605131812052cb.jpg



平面αは y=0 という非常に簡単な方程式で表されましたが,βの方はもうちょっと複雑です。
2直線OQ, ℓ を含む平面,すなわちOQを含みxy平面に垂直な平面です。
xy平面上で直線OQは  という方程式で表わされることから
β の方程式も  で表されます~
一応,法線ベクトルを用いて平面の方程式を導く流れも挙げておきます~


g13_20160513181245523.jpg


Sとβの交円の中心Hの座標を求めていきましょう~
それが分かれば交円の半径は  で計算できてしまいます~~ ikari01.gif



g16_2016051318124722d.jpg
g17_20160513181247f25.jpg



ここから先の流れははじめの解法と同じです~~

空間図形の問題では,空間座標は上手に使いこなせれば心強い武器になります hiyoko03(1).gif







   
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