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2016年前期東北大入試理系数学 第6問

2016.05.20 01:51|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東北大入試理系数学第6問をみてみます~


問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


2016to6.jpg

問題文が1行と非常にシンプルです。
数3の積分の問題ですね~~
定積分をで表された関数が題材の頻出問題です。
しかも被積分関数が絶対値を含んでいるという。

積分自体は t に関するものになっているので x は定数扱いです。
x の値ごとに定積分の値が決まっていくので,確かに x に関する関数になっています。
絶対値記号を外して定積分を計算し,より簡単な形の式に直してから最大値と最小値を考察していきます~ eto_hitsuji.gif

絶対値記号を外すときにはまず外れ方が切り替わる境目が何処かを見定める必要があります。
 は t に関して連続なので,境目は  が成り立つところです。
一般に sin A=sin B であるとき, A=B+(2π)×n または A=(π-B)+(2π)×n ( n は整数)
が成り立ちます~
今は 0<t<π の範囲に含まれるものが分かれば十分なので,そうなるような n を探します hikari_pink.gif hikari_pink.gif

i1_20160514102522cf0.jpg


境目が1つしかないことは分かりましたが,まだ絶対値の外れ方が判明していません。
そこで, ty 平面上の2曲線 y=sin2t, y=sin(t-x) のグラフを描いて考えてみます~
 0<t<π の範囲では  のところでグラフが交わります。
その交点が  より前にあるか後にあるかは x と  の大小によって変わってきますが
どちらの場合であっても  のときは sin2t>sin(t-x)
 のときは sin2t<sin(t-x) が成り立ちます~

i2_2016051410252364e.jpg
i3_20160514102523693.jpg



絶対値が外れてさえしまえばあとは単純な三角関数の定積分です。
定積分の値を求めると,今度は三角関数の最大・最小の基本的な問題になってしまいます。
三角関数の合成で決着がつきます~~ kaeru_en2.gif



i4_20160514102524e58.jpg



さて,別方針を考えてみましょう~
sin(t-x)-sin2t という式の形を見ると差を積に直す公式を使ってみたくなる衝動に駆られたりもしますね。
積の形というのは符号を調べる場面においてなにかと都合の良い形だったりします m_0033.gif



i5_201605141025242d5.jpg


定積分の計算は積より和・差の形のほうが都合が良いのでここから先は元の形に戻して計算していくと良いですね。



被積分関数が連続で,かつ絶対値の外れ方の変わる境目が  のただ1つであるということは
  のときと  のときではそれぞれ sin(t-x)-sin2t は
定符号になっています~
つまり,常に正であるか常に負であるかということですね。
一般に,連続関数 A(x) について p<x<q のとき常に A(x)>0 または常に A(x)<0 であるならば
  が成り立ちます~
このことに着目して,定積分を計算した後で絶対値記号を外す方式を検討してみます m_0172.gif



i6_20160514102525e51.jpg



似たような形の2つの関数に絶対値がついたものの和になっています。
パッと見では符号がよく分からないので微分でもしてみることにします~



i7_20160514102602d5a.jpg
i8_20160514102602bd0.jpg


ここから先ははじめの解法と同様です。
結構手間がかかりましたね。
やはりはじめに絶対値を外すほうが簡単なようです~~

しかしながら, g(x) も h(x) ももともと定符号の関数を積分したところから出てきたわけだから,
その結果の関数も定符号であるはずです。
例えば g(0)>0 であることを確認すればもう 0≦x≦π では常に g(x)>0 なことが
よくよく考えれば分かりますね niwatori.gif



   
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