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2016年前期京大入試理系数学 第2問

2016.05.29 23:11|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試理系数学第2問を見てみます~


問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


2016kyo2.jpg


整数問題ですね~~
この問題が出題された翌日には東北大で類題が出題されています~
東北大の方は小問に分かれていましたがこちらは分かれていませんね。
自分で方針立てて解いていかなければいけません~

偶数か奇数かとか,3で割ったときの余りはどうであるかなど,
適当なフィルターを掛けて p,q の値の候補に絞り込みをかけていく手法を取っていきたいと思います~ dolphin.gif

まずは偶奇性に着目してみると, p,q のうち一方のみが偶数でなければならないことを見いだすことが出来て,
それはすなわち一方が2であるということに相当します~ dog_love.gif

k1_20160529214821c2e.jpg


さてここで,少し実験を試みてみましょう~




とおいてみます~~
F(3)=17 は素数になっていますね。
F(5)=57,F(7)=177,F(11)=2169,F(13)=8361,……
p≧5 のときはなかなか素数が現れてくれません。数値もどんどん大きくなっていくので実験も大変です。
しかしながら,ここであることに気が付きたいです。
p≧5 のときは3の倍数が続いています。
もしかして,毎回3の倍数になってしまうのではないでしょうか。
こういう観察が大切です~~ kaeru_en1.gif


そこで,この予想が正しいことを実証していくことにしましょう~
p≧5 のときは p は3で割り切れない奇数なので,6で割ったときの余りは1か5のどちらかです。
よって適当な整数 k を用いて p=6k±1 の形で表すことが出来ます。
この表示を用いて, p≧5 のときに F(p)≡0 (mod 3) であることを見てみましょう~ heart2_glitter.gif

k2_20160529214822997.jpg


p=6k±1 の形におくことをしなくても,任意の連続3整数の中に必ず3の倍数が含まれることに着目して
実証することもできますね~ kawauso.gif



k3_201605292148226c3.jpg




フェルマーの小定理を利用して実証することも出来ます~ kasabake.gif




k4_20160529214823762.jpg
k5_20160529214823504.jpg
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