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2016年前期京大入試理系数学 第3問

2016.06.01 01:25|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学の第3問です~

問題はこちら~ 算数mini


2016kyo3.jpg


平面図形の問題です~
京大は頑張れば中学生でも解けちゃうような図形問題も時々出してくれますね。
簡単な図形の性質を駆使して攻めることも出来ますし,ベクトルなんかも道具として使えたりします。
遠回りなやり方も含めるとアプローチの仕方が沢山あるような気がします~

まずは比較的シンプルなものを挙げてみます~
すべての面が正三角形であることが言えれば十分なわけですが,
それを言うための過程が色々あります。
OA=OB=OC なんかを言うことができれば,視点を変えて対称的に議論を進めることで
AO=AB=AC や BO=BA=BC なども言うことが出来ちゃうので,
結果的にすべての辺が等しいことが分かります m_0071.gif

とりあえずOから平面ABCに垂線OHを下したときに △OHA≡△OHB≡OHC 
となることを述べることで証明してみます~~~




l1_2016052923573755c.jpg

l2_2016052923573896d.jpg


三角形の合同を用いた部分は三平方の定理を用いた議論に置き換えることも出来ますね roket.gif



l3_201605292357385cb.jpg


さて,辺ABの中点をMとすると,直線HMは線分ABの垂直二等分線になっています。
このことに着目すると, △OAM≡△OBM を示して OA=OB を見い出すという発想もできそうです~
もちろん OA=OB が分かると,対称な議論で任意の隣り合う2辺が等しいことへ発展したりします robo.gif




l4_20160529235739c98.jpg


Cから平面OABに下した垂線の足を I とします~
平面OHMが直線ABと垂直であることと, I が直線OM上にあること,および  であることから
Cも平面OHM上の点であることがいえます。
このことから3点C,H,Mは一直線上に並んでいて,その直線は平面OHMと平面ABCの交線になっています。
それをヒントにして △CAM≡△CBM を述べてみることにします~ risu.gif



l5_201605292357391a9.jpg
l6_20160529235739803.jpg



色々な着眼点が考えられそうな問題でした~ hamu02.gif





   
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