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相似の問題の面積比を用いた小技 その2

2016.05.23 22:30|数学
どもども。

以前に相似の問題の面積比を用いた小技として,
自分が勝手に対角線分割と呼んでいる手法(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html
を取り上げましたが,今回も有用な手法を取り上げてみたいと思います~ げろ

一部の界隈でベンツ切りなどという呼び方がされたりもしているものです。
受験算数の問題なんかではよく使われるようなのですが,その名称は自分は最近知りました~
とは言え,内容自体は決して斬新なものではなくて,線分比と面積比の関係のちょっとした応用です~


m1_20160603005404c3d.jpg


この手の図形の線分比を求めていく定型パターン問題を考えていきます~
通常は相似を使ったりベクトルを使ったりメネラウスの定理・チェバの定理を駆使して解いていくのが
スタンダードなアプローチとなるわけですが,対角線分割を用いた方法や加重重心を用いた小技もあることを
以前に触れています。
今回は新たなる手法を挙げていきます~


まずは下準備として,次の基本発想をおさらいしておきましょう~~ panda_1.gif

m2_201606030054051bf.jpg

上図において, △ABP:△ACP=BP:PC が成り立ちます~ rabi_love.gif
いわゆる底辺分割というやつです~
線分比と面積比の関係を見付けるアイデアとしては最もベーシックなやつです~
△ABPと△ACPはそれぞれBPとPCを底辺と見たときに高さが等しくなっているので
面積比と底辺の長さの比が一致してしまいます。


m3_20160603005405bb9.jpg


続いて,上図において △ABO:△ACO=BP:PC が成り立ちます~ tanuki.gif
△ABP:△ACP=△OBP:△OCP=BP:PC であるため,
(△ABP-△OBP):(△ACP-△OCP) もやはり BP:PC と一致してしまうのです~



m34jpg.jpg



そして,上図において 四角形ABOC:△OBC=AO:OP が成り立ちます~ wahakapa.gif
△ABO:△OBP=△ACO:△OCP=AO:OP であるため,
(△ABO+△ACO):(△OBP+△OCP) もやはり AO:OP と一致してしまうのです~





では本題に入っていきます~~


m5_20160603005406ac6.jpg

上の図においてAR:RB,BP:PC,CQ:QA,AO:OP,BO:OQ,CO:ORのうちどれか2つが分かってしまえば
赤,青,緑の三角形の面積比もすぐに分かってしまい,それを活用して残りの比も全部すぐに分かってしまいます~
zashiki.gif
上の図の赤・青・緑の分割をメルセデス・ベンツのエンブレムの形に見立てて
ベンツ切りみたいな呼び方がされてるんでしょうかね。


では例題を用いて実践してみたいと思います~

m6_201606030054325d3.jpg

AR:RB=4:3,AQ:QC=1:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~

まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
赤:青=AQ:QC=1:1, 青:緑=BR:RA=3:4
であることから, 赤:青:緑=3:3:4

このとき, BP:PC=赤:緑=3:4, AO:OP=(赤+緑):青=7:3,
BO:OQ=(赤+青):緑=6:4=3:2, CO:OR=(青+緑):赤=7:3


といった具合に全部簡単に求められます~ aicon156.gif
BP:PC=赤:緑=3:4 はチェバの定理の証明の流れそのまんまですけどね。


もう1つ例題をやってみます~~
AR:RB=4:3,CO:OR=2:1 のときに残りの比を求めていきたいと思います~


m7_20160603005433c7a.jpg


まずは赤:青:緑の面積比を求めます~
青:緑=BR:RA=3:4=6:8, (青+緑):赤=CO:OR=2:1=14:7
であることから, 赤:青:緑=7:6:8

このとき, BP:PC=赤:緑=7:8, CQ:QA=青:赤=6:7,
AO:OP=(赤+緑):青=15:6=5:2, BO:OQ=(赤+青):緑=13:8, 


となるわけです~~


とても簡単ですね~~ zoo02.gif








   
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