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2016年前期京大入試理系数学 第4問

2016.06.05 13:19|大学入試問題
どもども。



今回は今年の前期京大入試理系数学第4問を見ていきます~

問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189



2016kyo4.jpg



数3の積分の問題ですね~
平面図形を直線の周りに1回転させてできる回転体の求積問題なのですが
回す図形がy軸を含む平面上の図形ではなく,なおかつ平面 y=z という傾いた平面なので
空間図形が苦手な人には回転体の断面の様子が掴みづらい問題になっています~

まずは図形Dが一体どのような形状をしているのか探っていきます~
断面の様子を考察しその面積を積分していく辺りがメインなので
Dの形状把握の部分にはなるべく時間を掛けたくないところです。

一旦 xy 平面上の曲線  の概形を調べてみます~
御存知の方も多いと思いますが,曲線の形はいわゆる懸垂線ですね tukushi.gif
ロープの両端を持って垂らしたときにできる曲線です。

普段とは逆に, x ではなく y について微分して増減を調べてみます~


n1_20160604114739a9e.jpg


n3_20160604114740e9e.jpg



普段の x と y の立場を逆にしたことで考察が楽になりましたが,
同じことを普段通り y について解いて x で微分したらどうなるかも試してみます。
無理関数を含んだ対数関数が現れ,計算量が先ほどより少し増えます。
ちゃっちゃと済ましたいだけに,ここで手間がかかるのはあまり芳しくありませんね。



n8_20160604114825fbb.jpg

n9_20160604114825b64.jpg


相加・相乗平均の関係を使えば



より x≧0 が分かるので,そこに着目して x≦-2 の可能性を排除することもできますね。


さて,図形Dのうち x≧0 の部分は下図の青斜線部分に該当します~
y 軸の周りの回転体を考えるので, y 軸に垂直な平面で切断したときの断面を考えていきます。
そこで,平面 y=t (0≦t≦log a) で切ったときの断面いついて調べていきましょう~ taxi02.gif

D と平面 y=t の共通部分は線分になっています。
その線分を点 (0,t,0) のまわりに回転させたときに出来るドーナツ状の図形(円環領域)が
回転体の断面になります~
今回のような線分を回転したときにドーナツ状の図形が出来ることがなかなかかイメージ出来ない
ということはあるかもしれません。
その場合はいきなり線分単位で回転をイメージするのはやめて,点単位で回してみると良いと思います~ senpuki04.gif
線分上の任意の点Pをとり,点 (0,t,0) との距離を r とすると,
Pを回転したときの軌跡は (0,t,0) を中心とする半径 r の円です。
どの点も軌跡が円になるのでそれらが集まったものが線分の回転体です。
(0,t,0) に最も近い点と最も遠い点に着目しそれぞれの距離を  とすると
できあがる円環領域は半径  の円を境界としたものになります~ sakura.gifsakura.gif


n2_20160604114740445.jpg
n4_20160604114741a8c.jpg
n5_2016060411474109b.jpg
n6_20160604114741d1e.jpg


さて,あとは積分するだけですね。
せっかく綺麗な形で断面積が与えられていますが,展開したほうが積分計算はしやすいので
やや面倒ですが4次の展開をして積分しましょう~ saboten.gif



n7_201606041148247a9.jpg


4次の展開は嫌だなあと思って  とおいてみる置換積分を考えてみると
確かに4次の展開は回避できますがそれ以上にしんどい計算が待っています~
せっかくなのでトライしてみましょう~



n10_20160604114826cb1.jpg
n11_2016060411482679a.jpg
n12_201606041148267d4.jpg
n13_201606041148590fd.jpg


うむ,しんどい! osake02.gif






  
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