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2016年前期京大入試理系数学 第5問

2016.06.05 21:20|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大入試の理系数学第5問を見てみます~

問題はこちら~ mini 27b503c4e00011e2ad9722000a9e2977_7


2016kyo5.jpg

確率の問題です~
漸化式を解いていく流れになるので後半は数列の問題と言ってもいいですね。

与えられた通路区域を行ったり来たり動きまわる動点Xに関する確率を問う問題で,
難関大では頻出のテーマです。
このような「n秒後」「n回目」「n番目」の類が出てくる問題では確率漸化式を立てて解くのが
見通しの良いアプローチになることが多いです~

今回はn秒後にx座標が0である確率が問われています。
n秒後の状態をいきなり考えるというのはなかなか難しいですが,
n秒後からn+1秒後への遷移の様子を捉えるのはそれほどでもありません。
漸化式が威力を発揮するのはまさにそういう状況です dog_smile.gif

各秒後において動点Xは6個ある点のいずれかにやってきます。
それぞれの点にやってくる確率をそれぞれ文字でおいていくというのも有効ですが(後でやりますが),
6個の数列の連立漸化式というのはなかなか相手にしづらいです。
無難な作戦としては,n秒後に動点Xの居る点のx座標が0,1,2のときの3つについて
それぞれ確率を  とおいて,3つの数列について連立漸化式を解いていくというのが良いでしょう~

時刻n+1においてXのx座標が0であるためには,下の図のように点に名前をつけたときに
n秒後からn+1秒後にかけてO→C,C→O,A→O,D→Cのいずれかの移動が起きなくてはなりません。
言い換えると,n秒後に既にx座標が0で,なおかつn+1秒後もそれが維持されるパターンか,
n秒後にはx座標が1で,次に0になるというパターンのいずれかでなくてはなりません。
このことから,



が成り立たなければいけません~ dolphin.gif
同じように考えると,



も成り立たなければいけません~
素直に考えると次に考えるべきなのは  に関する関係式なのかもしれませんが,
全確率=1 に着目すると,  が成り立つので,
これを用いれば  を消去してしまえます。
しかも都合よく  も消えてくれるので,数列  に関する隣接2項間漸化式に帰着します~


o1_2016060518411883b.jpg
      o2_201606051841194de.jpg





に代入することによって,



が得られます~
さて,この後の処理をどうしましょうか。いくつかの定番処理法があります。まずは,



を満たす定数α,βを探すという方針です。
上式を元の漸化式の形に近付けて係数比較を行えば



が求まります~
この方針の良い所は,数列  が等比数列になることから
直ちに答えに向かっていけることです~ kuma_fly.gif



o3_20160605184120c19.jpg


別方針としては,数列  の階差数列の一般項をはじめに求めていくというものがあります~


o4_20160605184120a97.jpg


この形の漸化式は定番の形ですね。
両辺を  で割るか,あるいは両辺を  で割ることによって打開できます~
まずは前者のパターンです~


o5_201606051841217d6.jpg
   o6_20160605184121bee.jpg
  o7_20160605184152ecc.jpg


後者のパターンもやってみます~


o8_20160605184152380.jpg


ということで答えを出すことが出来ました~
次はややしんどいですが,n秒後に各点にいる確率を定めて,6個の数列の連率漸化式を解いていってみます~


o9_201606051841535e4.jpg


6個あるといっても,  とおいてしまえば
はじめの解答と全く同じになってしまうわけです。
ここではせっかくなので個々の確率を求めていってみたいと思います~

o10_20160605184153ad8.jpg
o11_20160605184154c8c.jpg


  という漸化式であったなら, 
とおくことによって等比数列にもっていけますが,それに着目して



の形の変形を施していきます~


o12_2016060518415441b.jpg

これを皮切りにして残りの数列の一般項も出していきたいと思います~ kudan.gif



o13_20160605184227c52.jpg
o14_20160605184227f64.jpg



なんとか6つとも出すことが出来ました~
ところでこの6個の一般項を見て気付くかもしれませんが,次のようにまとめることが出来ます~ korobo.gif



o15_2016060518422806b.jpg


確かに,よくよく考えてみれば動点Xは偶数時刻にはO,B,Dのいずれかに,
奇数時刻にはA,C,Eのいずれかにいることはちょっと観察してみればすぐに分かります~
この点に着目すれば,はじめからnの偶奇で分けて論じていくという方針も立てられそうです~
先ほどよりだいぶ楽に6個の数列の一般項を求めてみます~


o16_2016060518422910b.jpg
o17_20160605184229861.jpg
o18_20160605184230267.jpg



このとき,元々の問題であったn秒後にx座標が0である確率というのは,
nが偶数ならば  と一致し,nが奇数ならば  と一致します~ kitune.gif



o19_20160605184249953.jpg







   
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