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2016年前期京大入試理系数学 第6問

2016.06.12 17:15|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大数学の第6問をみてみます~

問題はこちら~ ぺんぎんmini

2016kyo6.jpg


複素数がテーマで,2つの条件を満たす2次多項式を求める問題です~~
アプローチの仕方が色々考えられますが,ここでは3通りの手法で攻めてみます~ bakezouri.gif

1つ目の方法は,  (A,Bは複素数) の形に因数分解されることに着目し,
 が f(x) で割り切れるのだから
x-A と x-B はどちらも  のどちらかを割り切ります。
このときの割り切れ方のパターンで分類していく方針です

2つ目の方法は,  を  で割ったときの余りを px+q とおいたとき,
実際に割り算を実行することで p と q が a,b の式で表されますが
p=q=0 であるという仮定から a,b に関する連立方程式が作れてしまうという方針です~

3つ目の方法は,

の形の恒等式が作れるので右辺を展開し係数比較をするという方針です~


まずは最初の方法から見ていきます~
2次方程式 f(x)=0 の2解を A,B とします。
…と,しれっと解を A,B とおいてしまいたところではありますが,
実数係数2次方程式の解の個数の考察には慣れているはずですが,
複素数係数の2次方程式における解の個数理論というのはどれだけのことを
前提として良いものだろうかという問題がありますね。
代数学の基本定理というものがあって,複素数係数の n 次方程式は重複度を含めると
n 個の複素数解を持つことが一般論として言えるのですが,高校数学では取り扱いません。
一方でド・モアブルの定理の応用で,1の n 乗根の話題には触れます。
1に限らず,0以外の複素数についてその n 乗根が複素数の範囲内でちょうど n 個存在しますね。
0の n 乗根は0のみになってしまいます。
このあたりの話に着目すれば2次方程式の解の個数問題は解決できます。
とりあえずそこに触れたあとで本題に入っていくことにします~

そもそも係数に虚数が含まれていると安易に2次方程式の解の公式は使えません。
判別式に相当する部分が虚数になってしまうかもしれないからです。
 のような「ルート虚数」の形は高校数学では基本的に定義していません。

そこで,改めて解の公式を導く式変形のプロセスを辿りながらうまく修正していきます~

が成り立ち,  の値が0かそうでないかによって,その平方根は1個または2個存在します。
このことから重解を持つ場合以外は常に2個の異なる解を持つことが分かりますね dog_shy.gif



p1_201606121214057cd.jpg


重解を持つ場合は以後考えなくて良いことが分かりました~~



p2_20160612121406598.jpg



これらの4パターンを1つ1つ検証していきます~
といっても4つ目のパターンは3つ目のパターンと全く同じ中身になるため実質は3パターンです。
ここから先は剰余の定理が威力を発揮します。
A,B の値として考えられる候補を次々挙げていき,条件(ロ)を満たさないものをどんどん切っていきます~ dokuro.gif


p3_20160612121406be6.jpg



こんなノリです~
残りのパターンについてもやっていきましょう~ heartss_pink.gif




p4_2016061212140659f.jpg
p5_20160612121407142.jpg


だんだん場合分けが込み入ってきましたね~



p6_20160612121407755.jpg

p7_20160612121433655.jpg



なかなか作業量の多い問題でしたね。
第2の方針で攻め直してみます~~
  を  で割ったときの余り px+q を考える方針でしたね。
よってまずは p と q を求めてみなければいけません~
筆算でもして求めれば確実ですがボリュームのでかい筆算になるのが厄介ですね。
せっかく前の解答で2次方程式の解の話に触れてあるので,それを流用して解と係数の関係を用いて
p と q を求めてみる方法をここではとってみます~ kawauso.gif

その後は連立方程式を解いていくだけです~

p8_20160612121433b6b.jpg
p9_2016061212143401b.jpg

  p10_201606121214345ec.jpg


p11_20160612121435efe.jpg



p12_20160612121458428.jpg




それでは3つ目のアプローチを試してみます~

が恒等式になるように係数を決めていきます~ kame.gif




p13_201606121214580ff.jpg
  p14_20160612121459722.jpg


p15_20160612121459e20.jpg
   p16_20160612170819a00.jpg





というわけで3通りの解答方針について述べてみましたが,
どの手法でもなかなか細かい分類が必要で大変でしたね kaeru_yodare2.gif






   
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