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誤答から学ぼうシリーズ・2つの関数の大小と最大値

2016.06.13 02:18|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

参考書の模範解答や問題集の解答に載っているのは基本的に正答です。
このため,どのような誤答に陥ってしまいがちであるかがイマイチ見えにくいことがあります。
しかしながら,誤答から学べる教訓というものも非常に多くあるものです~~ げろ
そこで誤った解答から教訓を学び取っていこうというシリーズも時折やってみたいと思います~

今回は2つの関数の大小と最大・最小に関するある間違いについて考えてみます~~

問題: 実数全体を定義域とする2つの関数

 ,


について次の問いに答えよ。
(1) 任意の実数 x に対して f(x)≧g(x) を示せ。
(2) f(x),g(x) の最大値をそれぞれ求めよ。



それでは誤答を挙げます~~~ akaname.gif


q1_20160613014526b0d.jpg


f(x) の最大値  さえ求めてしまえば,(1)で得た大小関係 f(x)≧g(x) に着目することで
g(x) の最大値の方も  と分かってしまうというアイデアです。
しかしながら,この発想は実は誤っています。一体何が誤っているのでしょうか。
その原因は,次の命題を真と勘違いしてしまったことにあります eto_i.gif

命題:「一般に f(x)≧g(x) かつ f(x) の最大値がMならば g(x) の最大値もMである」

g(x)≦f(x)≦M より g(x)≦M が成り立つこと自体は何も誤っていません~
ただ注意すべきなのは g(x)≦M は単に大小関係を表しているだけの不等式であり,
g(x) の最大値がMであるということを表している不等式ではない
ということです。

Mが g(x) の最大値であるためには,「 g(x)≦M かつ g(x)=M を満たす x が少なくとも1つ存在する」
ことが必要十分です。そして, g(x)=M が成り立つのは,2つの不等式 g(x)≦f(x), f(x)≦M 
について両方の等号成立条件が同時に成り立つとき
です。
一方のみの等号が成り立つだけではダメなわけです~~ hiyo_face.gif


q5_201606130145280f8.jpg


元の例題に戻ると, f(x)≧g(x) の等号成立条件は cos x=1 すなわち x=2πn (n:整数) です。
一方で,  の等号成立条件は  (n:整数) です。
これでは2つの成立条件が同時には成り立ちませんね~~
よって,  においては等号は成り立たないので,これはもう少し詳しくいうと
 という大小関係を表しているだけに過ぎなかったということになります。

(1)に関しても次のような誤答がよく見られます~ m_0001.gif


q2_20160613014527f38.jpg

これもやはり, sin x≦1 と cos x≦1 が同時に成り立たないため sin x+cos x≦2 という不等式は
大小関係としては正しいですが実質的には sin x+cos x<2 という状況であって,
最大値が2というわけではありません~

それでは最後に正しい解答を挙げておしまいにします~~ kuma_fly.gif



q4_2016061301452869f.jpg









    
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