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2037.09.09 09:09|分類
どもども。




ここは数学の入試問題などをのほほ~んと解いて遊ぶことが
メインの内容になっているブログですよ~ 箱ドットおにおんmini

入試問題の解説をやってるサイト・ブログは色々ありますが
まったく同じことをやっても面白くないので
自分トコでは,ゆるーーーい気持ちでだらだらぐだぐだとやっていくのが趣旨になってます~

ところで,問題集や参考書や入試問題解説サイトの解答ページを見ると
模範解答が1つドーーーンと載っててハイッおしまいッ!
たまーに別解も挙げるよ!
みたいな感じになってることが多いなーって思います。

苦労して問題解いた後や,途中で心折れてしまったときに解答ページを見てみたら
自分のやり方と違う解法で解いたりしていて,
肝心の自分の解法の評価に悩んでしまったりしたことはないですか?

本だとページ数に限りがあるので,
全ての問題にあの解法やらこの解法やらを網羅し尽くすことが出来ません。
むやみに情報量を多くするのも,それはそれで読む側の負担が大きいという側面もあるかもしれません。
詳しすぎる参考書っていうのも数学が苦手な人にとっては重たいだけですね。
…とは言うものの,だからといって1つの解法を「これが模範解答です!」と言ってムリヤリ押し付けるのも
いまいち気分の良いものではありません~

そこで,ここではなるべく1つの問題に対して1つ解答を挙げて終わるんじゃなくて
いくつかの方法をのほほんと試してみよう~ってことをやってます~ yotuba10.gif
時には敢えて面倒くさい解法にチャレンジしてみたりもします~
雰囲気はゆるいですが,やってることは必ずしも易しくはないかもしれません~
そんなわけで,あっさりした解説をお望みの方にはあまり向いてないかもしれないですよ~

ほかにこういう解法があるよ~みたいな情報はいつでもお待ちしています~
また,ちょこちょこ誤植とかつまらない凡ミスとかあるんで気兼ねなく突付いてください~




ひたすら生真面目に数学やろうだなんて一切思わずに,
ゆるゆる~~な気分で,肩の力を抜きながら,時に遊び心も入れながら,
そんな想いを抱きながらも,その割には真摯に数学と向き合ってみたりもする困ったブログです~
算数mini








取り扱った問題を分かりやすいように分類しましたkirakira.gifkirakira.gif

複数カテゴリにまたがる問題は,よりその要素の強いカテゴリに入れてあります~
問題数が増えると更に整理するかもしれませんdog_shy.gif

計算ミスなどなどありましたら教えてくださいねん(きっと結構あるからgomen01.gif


rabi_love.gif大学入試問題rabi_love.gif 
 
解析  2次関数,場合の数・確率,図形と方程式,指数・対数関数,
        三角関数,微分・積分,数列,複素数,極限,式と曲線 など


代数  数と式,整数の性質,行列,1次変換 など



幾何  平面図形,空間図形,三角比,ベクトル など



その他  統計 など





rabi_love.gif高校入試問題rabi_love.gif 




rabi_love.gifその他の問題rabi_love.gif 









  
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No title

こんにちは

x=cos2t,y=cos3t(0<=t<=π)という関数について

「x,yの増減,座標軸との交点を調べてCの概形を図示せよ」

という問題なのですが、

私はπ/2に関するx軸との対称性を考え、0<=π<=π/2について増減表

を立ててグラフを書きました。

問題文に「「x,yの増減,座標軸との交点を調べて」」とはっきり書いて

あることを考えると改めて0<=t<=πに関して、

x,yの増減表を書き、座標軸との交点を調べ直さなければいけないので

しょうか?

でも、それをするのならもはや最初から(0<=t<=π)について考えた方がイイような気がしますし。

申し訳ございませんが教えていただけたら幸いです。

No title

コメントありがとうございます~

「x,yの増減,座標軸との交点を調べて」
という条件は,曲線の概形だけポンと描いて終わりにしないでね,という指示です。
x(t)=cos2t,y(t)=cos3t という2つの関数は,微分など用いずとも数2の三角関数の知識だけで
その増減や符号や値が分かります。
そうすると,増減表とか書かなくてもいきなりぶっつけ本番で「大体こんな感じでしょ?」
と曲線の概形を描いてしまうことも十分できちゃうわけです。
ここでは,「ちょっと考えればすぐ何となく分かること」ももう少し丁寧に論じた上で概形を描いて欲しい
という出題の趣旨を踏まえて答案を作ってくださいね,と解釈するのが妥当ですね。

では 0<=t<=π の範囲で増減表を書かなければならないのか?という点はどうかということですが,
「対称性を利用して 0<=t<=π/2 の範囲に絞って負担を減らそう」という方針でいくなら
それはそれで全く問題ないと思います。
問題文でもはっきりと「 0<=t<=π の範囲で増減表を書け」とまでは指示していません。
0<=t<=π/2 の範囲でしっかり増減を調べて答案を作ったというのだから
上で述べたような出題の趣旨には応えています。
x(π/2-t)=x(π/2+t) および y(π/2-t)=-y(π/2+t) が常に成り立つので,
(x(π/2-t),y(π/2-t))=(x(π/2+t),-y(π/2+t)) が 0<=π<=π/2 の範囲で
いえるので曲線はx軸に関して対称であるという旨を記述しておけば,
それが π/2<=t<=π 部分の増減を調べる作業の代替物になるでしょう。
その辺りの記述について,もし詳しい説明を省いて「対称性より」の一言で済ませてしまっているなら
相手がそれを不服と思った場合には説明不足で減点されてしまうかもしれません~

No title

素早くかつ詳しい解答をありがとうございます!

対称性をきちんと理由説明をして利用する分にはよいのですね。


問題で問われていることに過不足なく答えるというのは時に難しく感じることがあります。

あまり神経質になりすぎてもいけないし、かといって雑になるのはもっといけないし。

きっと私の国語力の問題ですね…笑

でも、正しいということを聞いて少し安心しました!どうもありがとうございました!

No title

入試では多くの場合,100点じゃなきゃ受からないなんてことはまず無いですし
優れたクオリティの答案が書ける受験生なんてごくごく限られています。
あまり自分を追い詰めすぎずに,かと言って安易に妥協もせずに,
適度に真摯に頑張ってみてほしいと思います~

丁寧な仕事を心掛ける意識が大切ですね。
自分が主体になりすぎると説明の面倒なものは都合のいいように省いてしまったりします。
どう書いたら自分の考えが相手に満足して理解してもらえるかを考えながら答案を書いてみましょう。
答案が雑になるのは多くの場合,説明の仕方が難しい部分や面倒な部分ではないかと思います。
「上手く言えないけど頭の中ではぼんやり分かっている気がすること」を適切に表現できるようにする練習を
積み重ねていけば答案作成脳力はどんどん上達します~

数III 微分 最小

こんばんは。ブログを拝見させてもらいとても解説が詳しくわかりやすいので受験勉強に役立たせてもらっています。そこで、わからない問題をお聞きしたいです。以下の問題なのですが、

「aは定数で、0<a<1とする。関数f(x)=-ax+√(x^2+1)の閉区間[0,3]における最小値を求めよ。」という問題です。 解答では微分をしてf'(x)=0となるxの値はx=a/√(1-a^2)となっています。ここで場合分けが生じて①0<a/√(1-a^2)<3 ②a/√(1-a^2)>=3 でそれぞれ増減表が書かれているのですが、なぜ②では=もつくのかがわかりません。
お時間とると思いますが教えていただけないでしょうか。
(大学受験生)

コメントありがとうございます〜

k=a/√(1-a^2) とおきます。
x>0 においてf(x)は、0<x<=kでは単調減少、
x=kでは極小、k<=xでは単調増加になっていることがわかります。
[0,3]においては、kがその中に無ければ(つまりk>3ならば)、
f(x)は常に単調減少でf(3)で最小になり、
kがその中に含まれていれば(つまり0<k<=3ならば)、f(k)で最小になります。

k=3 のときは2つの条件の境目になっていて、どちらも満たしています。
場合分けする上では、「k>=3」と「0<k<3」でも、「k>=3」と「0<k<=3」でも構いません。

場合分けを要する最大・最小問題といえば2次関数を対象としたものが一番ベタですが、
その時の場合分けの考え方と基本的には同じです。

こんなに詳しい解説ありがとうございます❗️ そういえば2次関数の最大最小のときも疑問に思ったことがありました。 数1Aからもちゃんとつながっている考え方なんだと改めて基礎の大切さを感じさせてもらいました。 お忙しい中ありがとうございました😊

No title

高校数学の冒頭で取り扱う,数と式あたりや2次関数あたりの単元は
高校数学の作法のようなものを学ぶ役割もありますからね。
場合分けを要する最大・最小の問題もその後いろいろな関数に品を変えて出てきますし
他にも方程式の実数解の個数を調べる問題や2曲線の共有点の個数を調べる問題など
アプローチの仕方は同じまま品物だけ進化していく部類の問題があります。
また判別式や対称式など,どの単元をやっててもピョコッと顔を出す内容も沢山あります。
このため早い段階できっちり2次関数までの単元を完成させると,
その後の高校数学は随分と理解度合いが変わってくるんですよね。
逆にここで躓いてしまうとその後とってもしんどいです。
基礎ってやはり大事ですねッ

不等式の証明 数III

こんばんは。また質問させていただいてもよろしいでしょうか?

自然数nに対して、関数fn(x)=x^(n)e^(-x)を考える。
(1)x>=0におけるfn(x)の最大値を求めよ。
(2)n>=2のとき
不等式[(1+1/n)]^n<e<[1+1/(n-1)]^nが成り立つことを示せ。
という問題なのですが、(1)は解けたのですが(2)がまったくわかりませんでした。解答では「fn(n+1)<fn(n),fn(n-1)<fn(n)を変形する。」としか書かれていなくて、どうしてこの不等式が成り立つことに気づいたのかがわかりません。試験でこの問題を解ける人はどういう思考過程を得て解答に至っているのでしょうか? その思考過程が知りたいです。 ちなみに僕がこの問題を見たときは「自然対数の定義式に似ているな」と思ったぐらいでした。
数日後でもいいのでブログ主さんの解説を聞かせていただきたいのですが。

No title

f_n(x) や(1)の結果をどのように(2)に反映させるのかが若干見えづらい
問題かもしれませんね。互いに無関連な小問ばかり並んでいる入試問題もしばしばあるので
その可能性を疑う方向に傾いてしまう人も出てくるかもしれません~
ただ(2)の不等式の証明問題は, f_n(x) やその最大値などを持ち出してこなくても
それ単品で1つの大問になり得る問題です。
それなのにわざわざ f_n(x) なんてモノを登場させているのだから,やはり何かしらの誘導に
なっているのだろうと推測できます。
でも,もし誘導に乗ることができなかった場合は,諦めて別ルートを模索するしかありません。

http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-277.html

今年の東大の問題なんか(2)と同系統の問題ですね。
今回の(2)も, x≧2 において log(1+1/x)<1/x<log{1+1/(x-1)} を示してみるなどの方針で
解いていくことが出来ます。

では,無難に誘導に乗って解いていくにはどういう思考過程を辿ればいいのか考えてみましょう。
(1)の結果は「 f_n(x) は x=n で最大値 (n/e)^n をとる」のはずです。
言い換えると,「非負実数 x に対して, f_n(x)≦(n/e)^n が成り立ち,等号が成立するのは
x=n のときに限られる」ということです。
そこで,xにn以外のものを代入したら f_n(x) は (n/e)^n 未満の値になるはずだから,
そこに着目してみる作戦はどうだろうというアイデアが生まれます。
そんなわけで, f_n(n-1) や f_n(n+1) が確実に f_n(n)=(n/e)^n 未満の値になることを見い出します。
あとは特に n≧2 のときを考えて f_n(n+1)<f_n(n),f_n(n-1)<f_n(n) の不等式を変形して
目標の不等式を導けばよいです。

今年の東大でも似たような問題が出ているんですね・・・。せっかく解説していただきましたが似たような問題が出て本番で解けるかと言うと今の僕には無理そうです。 部分点だけでも取れるようにもう一度復習して見たいと思います。
詳しく解説してくださってありがとうございましたm(_ _)m

No title

東大の場合は誘導一切なしですので,今回の問題で言えば(2)だけを単品で出されてきたような
状況ですね。そういう面で今回の問題は誘導がある分,親切ではあるようです。
出題者はどういう動作をさせたくてこの誘導を与えたのだろう,とか
この誘導から分かることってなんだろう,とか
色々思い巡らせながら楽しんで問題演習にトライしてみてください~~
ある程度の基礎力がついてきた後は,何をすべきかがあまりにも明白なありきたりの問題よりも
程よく分かりにくい問題のほうが思考のトレーニングには向いている気もします。
今回の問題はそのような能力を伸ばす上ではちょうどいいくらいの難度に感じます~
ただ入試で合格する上では,何をすべきかがあまりにも明白なありきたりの典型問題で確実に得点できる
ことが何より大切ですよ~

絶対値をかぶせる理由 数III 平均値の定理

こんにちは。わからないところを自分なりに考えてみたのですが正しいかわからないので見ていただきたいのですが。
「f(x)=1/2cosxとする。任意のx,yに対して、|f(x)-f(y)|<=1/2|x-y|が成り立つことを証明せよ」という問題です。
解答では
(ii)x≠yのとき平均値の定理より
[f(x)-f(y)]/(x-y)=f'(c)となるcがxとyの間に存在する。
f'(x)=-1/2sinxであるから|f'(c)|=|1/2sinc|<=1/2
といきなり絶対値をかぶせているのですが、これはxとyの大小関係がわからないことが理由でできると思ったのですが僕の考えは正しいのでしょうか?
また平均値の定理は閉区間で連続のときに使えるはずですが問題文にはx,yは任意と書いてありますが、これは閉区間といえるのでしょうか?
お願いします。

No title

問題集の解答などはページ数の都合や締切の都合など,きっと様々な制約があるのかもしれませんが
説明が簡素だったり行間が広かったり省略が激しかったりすることも多々ありますね。
つまり解答としては正しいけど必ずしも「模範解答」や「模範答案」ではないということです。
解答ページに載ってる解答をそっくりそのままコピペした場合,満点がもらえるとは限りません。

(ii)x≠yのとき平均値の定理より
[f(x)-f(y)]/(x-y)=f'(c)となるcがxとyの間に存在する。
f'(x)=-1/2sinxであるから|f'(c)|=|1/2sinc|<=1/2

内容は正しいですが幾つかの点は「暗黙の了解」に委ねています。
どの程度まで「暗黙の了解」として良いかは問題の空気や採点基準によりますので
「絶対コレを書かなきゃダメ」とか「コレは省いても絶対に大丈夫」のような「絶対」なものというのは
ありません。ただあまり簡素にしすぎると減点されても文句は言えなくなります。

x≠y という場合は更に「(ア)x>y のとき」「(イ)x<y のとき」に二分されますね。
(ア)の場合には [f(x)-f(y)]/(x-y)=f'(c) (y<c<x) となる c が存在します。
-1≦sin c≦1 なので |f'(c)|=|1/2sinc|≦1/2 が成り立ち,
よって |f(x)-f(y)|≦1/2|x-y| が従います。
(イ)のときは x<c<y に替わるだけでその他の部分は変わりません。
(ア)でも(イ)でも同様に議論できることを暗黙の了解としているのが上の解答ですね。
いきなり絶対値をかぶせているのは [f(x)-f(y)]/(x-y)=f'(c) という等式が
成り立つからであり,xとyの大小が分かっていようがいまいが関係ありません~
大小が分からないことが本質的な理由ではないです。
答案上では「(ア)x>y のとき」「(イ)x<y のとき」「(ウ)x=y のとき」
の3部構成にする((イ)は殆ど「上と同様」みたいなノリで流す)か或いは
「(i)x=y のとき」「(ii)x≠y のとき」の2部構成にして後者について
「xとyの対称性より, x<y と仮定しても一般性を失わない」のように述べて x<y の場合のみ
考察する,みたいな感じでやるのが個人的には好きです~

また平均値の定理の適用条件についてです。開区間で微分可能,閉区間で連続という仮定が
ついていましたが,これは定理が成り立つために必要な仮定の1パターンです。
今回の問題ではxとyは任意の実数という風になっているのだと思いますが
f(t)=1/2cost は実数全体で微分可能(ということは連続でもある)な関数です。
任意にxとy(x<y)を取ってきたときに閉区間[x,y]に平均値の定理を適用することが出来ますね。
f(t) は開区間(x,y)で微分可能,閉区間[x,y]で連続だからです。
平均値の定理を用いる際に「開区間で微分可能,閉区間で連続」の部分の記述を割愛している解答もよく見かけます。
一応現段階では受験生ですので丁寧に書いておくほうが行儀は良いと思いますが,
今回のような実数全体で微分可能な関数の場合は「開区間(x,y)で微分可能,閉区間[x,y]で連続」の
ように書くのは逆にくどさすら生じてしまうので,
「f(t)は実数全体で微分可能な関数であるから,平均値の定理を適用して~~~」
くらいでも十分かな,という印象です~

詳しく解説していただいてありがとうございます。解答を書くときにたまに悩んでしまうときがあるので今回のを参考にさせていただきたいと思います。問題集の解答は省略している部分もあるんですね! 初めて知りました。mathnegiさんみたいに問題集も詳しく書いてくれるといいんですけどね笑 もう一度復習してさらにレベルアップできるように頑張っていきたいと思います。

No title

答案づくりは難しいですよね。「問題が解ける」ことと「答案が書ける」ことは
同じように見えて案外同じじゃないです。問題は解けるけど答案は書けないタイプの受験生も結構多いです。

問題集の解答は決して万能ではないので信頼しすぎないようにしましょう。
読んでいて不親切な解答だなぁ~って思った経験もきっとあるのではないでしょうか。
参考書の例題解説と同じくらい丁寧な解答が全ての問題に付けられていることは滅多にない気がします。
したがって,問題集の解答を見ながらノートにまとめる,ような作業をするときは
そのまま模写するのではなく必要に応じて自分で内容を補充し肉付けしていくことが大切です。

答案づくりのコツは,自分よりも数学が苦手な人が読んでも理解できるような仕上がりを目指すことです。
学校の先生や試験の採点官など自分より数学が得意そうな相手に向けて答案を書こうとすると
「ここはこの程度の簡単な説明でもちゃんと伝わってくれるだろう」などのような気持ちが働いて
丁寧さに欠け省略の目立つ答案になりがちです。

集合と論理

a,b,cを正の整数とする。
(1)a,bがともに奇数のとき、a^2+b^2を4で割った時の余りは[ソ]である
(2)(i)a^2+b^2=c^2が成り立つとする。
cが偶数であることはaとbがともに偶数であるための[チ]
積abが5の倍数でないことはcが5の倍数であるための[ツ]
という問題です。(1)はわかりましたが(2)がまったくわかりませんでした。

ちなみに[ソ]は2 [チ]は必要十分条件 [ツ]は十分条件 です。

教えてください

No title

コメントありがとうございます~

数学の問題では,というか数学に限ったことではないですが,
ただ「分からない」と言うのはなかなか宜しくありません~
何が分からないのか,なぜ分からないのか,何は分かっているのか,どういうアプローチを試したのか,
そういった点を整理して現在に至るまでの思考の流れを提示して分からないと言うのが良いでしょう~
前回までは比較的それが出来ていましたが今回は若干丸投げになってしまっています~

難しい問題に出くわしたとき,解決の糸口はまさに「何が分からないのか」「なぜ分からないのか」
「何さえ分かれば解けるのか」「どこに着目すればよいはずなのか」等の点を整理することにあります。
ここをこうすればいけるはずなんだけどなぁ~
これだけ条件が揃えば答えは1つに定まるはずなんだけどなぁ~
等々のようなことを考えることで道が開けていきます。


さて今回の問題ですが,(1)を解く際に a=2m-1,b=2n-1 (m,nは自然数)のように
おいて考えたのではないでしょうか?
(2)後半では「5の倍数」というキーワードが出てくるため, a=5m+r,b=5n+s の形に
おいてみたらいいのではないかという発想には恐らく至るかと思います。
積abが5の倍数でないというのはつまりaもbも5の倍数ではないということです。
「a,bがともに奇数のとき、a^2+b^2を4で割った時の余りは2である」と同様に考えると
「a,bがともに5の倍数でないとき、a^2+b^2を5で割った時の余りは0,2,3のいずれかである」
ということが分かります。一方,c^2を5で割ったときの余りは0,1,4のいずれかです。
a^2+b^2=c^2 が成り立っていたとすれば,もしもabが5の倍数でないとしたら a^2+b^2=c^2 の
両辺とも5で割ったときの余りは0でなければいけません。このときcは5の倍数になります。
よってabが5の倍数でないならばcは5の倍数であるという命題は真です。
cが5の倍数であるならばabは5の倍数でない,という命題の反例は15^2+20^2=25^2など幾らでもあります。

こうして[ツ]は十分条件であることが分かります。

mathnegiさんの指摘していただいたように、丸投げしていました。
わからなかった問題に対しては他の教科でもできるだけ理由をつけて解決するようにしてはいますが、mathnegiさんが今回教えてくれた「何が分からないのか、なぜ分からないのか、何さえ分かれば解けるのか、どこに着目すればよいのか」といった明確な考え方を持っておらず、ただ漠然とした考え方しか持っていませんでした。
mathnegiさんが教えてくれたこの言葉は受験勉強だけでなくこれからの大学での勉強、また社会に出てからも役に立ちそうだと思ったので僕の数学のノートに書いておくことにしました。」
高校の時の同級生にそういえばこのような考え方をしている人がいて、彼から質問を受けた時にいつも答えられなかったことを思い出し、全国の頭の良い受験生たちは無意識的にこういった考え方ができていているか、もしくは知っているのかもしれないなぁと感じたので、今回それを知ることができてとても助かりました。

続いて、解説していただいた問題ですが、解答には
a=5m±1,5m±2 b=5n±1,5n±2とややわかりづらく置いているように見えますが、僕のはじめの発想としては「5の倍数でない数は?」と聞かれたらa=5m+1,5m+2,5m+3,5m+4が出てきました。この2つの置き方に違いはあるのでしょうか?
あともう一つ[チ]の問題を自分で解いてみたのですが、解答と答えが一致しなかったので僕の解答を見ていただきたいのですが。
「cが偶数であるならばc^2も偶数。よってa^2+b^2も偶数である。
偶数=偶数+偶数または奇数+奇数より、a^2,b^2はともに偶数または奇数である。
したがってa^2,b^2がともに偶数の時a,bも、ともに偶数。a^2,b^2がともに奇数の時a,bも、ともに奇数。 したがって、
cが偶数であるならばaとbがともに偶数であるの命題は偽(*)
aとbがともに偶数であるならばcは偶数であるの命題は真
よってcは偶数であることはaとbがともに偶数であるための必要条件」
になると思ったのですがどうやら(*)の所が間違えているようです。僕はa,bは偶数だけでなく、「または」奇数になるときもあるので偽であると考えたのですが、ここがよくわかりません。なにか基本的なことを理解できていないような気がします。 お手数をおかけしますが教えてください。

No title

あ,なぜだか[チ]は分かったけど[ツ]はまったく分からないと言っているのだと勘違いしてしまいました~
[チ]も上で述べた[ツ]と同じように考えます~

「cが偶数であるならばaとbがともに偶数である」は真です。
ともに奇数の可能性もあるじゃないかという指摘ですが,実はそれはあり得ません。
「a^2+b^2を4で割った時の余りは2である」ということがヒントになっています。
ともに奇数なら a^2+b^2=c^2 の左辺は4で割ると2余る数なのですが,
右辺は4の倍数のはずなので不合理です。よって,aとbがともに偶数であると言えるんです。

a=5m±1,5m±2 というおき方と a=5m+1,5m+2,5m+3,5m+4 というおき方の件ですが,
どちらで論述しても構いません,美学や好みの問題です。
a=5m±1,5m±2 とすることのメリットは複号を用いて記述量を軽減できるということです。
デメリットもあります。今回の問題では a は正の整数という条件がついているため,
a=5m+1,5m+2 の場合はmの取り得る値の範囲は m≧0 ですが
a=5m-1,5m-2 の場合はmの取り得る値の範囲は m≧1 なのです。
aの形によってmの範囲が変わってしまうのが記述する際面倒です。
a=5m+1,5m+2,5m+3,5m+4 とおくことのメリットは,どの場合でも一括して m≧0 として扱えることです。
その代わり4パターン全て別々に考察しなくてはいけません。

2017

こんばんは

来年度2017は素数ですね!

来年の入試は2017にまつわる問題が増えますかね?

No title

再びコメントありがとうございます~

年号をネタとした問題の出題は毎年多いですしね,警戒は怠らないようにしたいです~

2017の特筆すべき特徴というと,すぐに思いつくのがコメントにある通り素数であるということなわけですが,
このことに着目して解く入試問題は思ってるほど多くはないんじゃないかという気が実はしてたりします~
数学オリンピックや数検1級などの試験では普通に出題されても不思議じゃないですけど。
数学オリンピックを受けるような人たちにとっては2017が素数であることなんて予備知識として
常識の範囲内なのだと思いますが,受験者が必ずしも数学大好きっ子ってわけでもない大学入試においては,
2017が素数であることを知ってないと解答が厳しい問題は出しにくそうです。
それに答案の中で「2017は素数なので」という記述を何の理由説明もなく当然のように書かれてしまうと
採点の際に悩んでしまいそうっていうのもあるでしょうね。自明ではないので。
かといって2017が素数であることを説明しようとするとそれも意外と面倒だったり。
素数であることを知らない受験者はその場で2017が素数であることに気付かなければならないですが
それって結構大変だと思います。
…なんていうことを考えると2017が素数であることがキーポイントとなる入試問題はなかなか作りづらい
ので,2017問題が出るとしても「素数である」とは別のことがキーポイントだったり,あるいは
2017を使う必然性のない問題だったり(例えばド・モアブルの定理で2017乗を計算するだけとか)
することが多いのかもしれないな~とか何となく予想してみたり。

No title

返信が遅れてしまってすみません!

言われて見ると2017は入試問題と絡めにくいですね!

ド・モアブルは確かにどこかで出題されそうです。笑

証明するにも、√2017を超えない素数で割り切れないことを考えていくのは面倒なだけですしね。


ちなみに「2^n-1が素数 ならば nは素数 を証明せよ。」とかメルセンヌ素数が背景にある入試問題もたまに見ますよね!

2047年だとメルセンヌ素数ですけど、出題しにくいでしょうね。笑



なかなか出題者側の問題作成というのも奥が深いものですね!

No title

2017が素数であることをネタにした問題が果たしてどれくらい出てくるのかは興味深いですね。
素数であることに気付かなくても解けるけど,問題の背景に素数であることが密かに関係している,とか
そういう問題とか出てくると面白いかもしれませんね。

ちなみに 2047=2^11-1=23×89 はメルセンヌ数ではありますがメルセンヌ素数ではありません~
素数ではないため逆に出題しやすいかもしれないですね。
今年2016年については,2016=2^5(2^6-1)という表示を持ちます。
2^n-1 がメルセンヌ素数なら 2^(n-1)(2^n-1) は完全数であり,
逆に偶数の完全数は必ずメルセンヌ素数を用いて上式の形で表せるという性質があります。
2016自体は完全数ではないですがメルセンヌ数とはこうした関連性を持っている数でした。
2016は年号問題がとても作りやすかったと思います~
(なお今年は平成28年ですが,28は完全数ですね。それに関連してなのか千葉大の英語の
「プラスチックのオウム」の問題がちょっと話題になっていました)

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No title

カテナリー関連の問題の最終式で

lim[x→∞](e^(2x)+e^(-2x)-2+4x^2)/(4(e^x+e^(-x)-2))

となったのですが、

この不定形の処理がどうしてもできません…

万策尽きた状態で、ご助言いただけたら嬉しいです。

No title

すみません、↑の質問のものですが、 lim[x→∞]ではなくlim[x→0]です!
申し訳ございません!

No title

コメントありがとうございます~

f(x)=e^x-e^(-x)
g(x)=e^(x/2)-e^(-x/2)

とおくと,微分係数の定義式を使って

lim[x→0]{(f(x)-f(0))^2/x^2+4}/(4(g(x)-g(0))^2/x^2) ={(f´(0))^2+4}/4(g´(0))^2

と変形できますよ~

分母と分子の -2 がいかにも上記の変形を誘ってるように見えます~

No title

ありがとうございます!そうすれば解けたのですね!

私も一応微分係数の定義式を試みようとはしたのですが
f(x)=e^(2x)+e^(-2x)
g(x)=e^x+e^(-x)

としちゃってて

f'(0)もg'(0)も0だから不定形抜け出せないじゃん!

ってなってました笑

-2の処理に気付きたかったですね…( -_-)

No title

連続ですみません!以下の問題なのですが…


nは3以上の自然数とする。
半径1の円に内接する正n角形の周の長さをS[n],外接する正n角形の周の長さをT[n]とする。
(1)S[n],T[n]をそれぞれnを用いて表せ。
(2)任意のnに対してS[n]+T[n]>S[n+1]
+T[n+1]が成り立つことを証明せよ。



(1)でS[n]=2nsin(π/n)、T[n]=2ntan(π/n)と出ました

そして(2)なのですが、S[n]+T[n]の単調減少が言えればよいと考え、π/n =x と置き、S[n]についてはf(x)=sinx/x、T[n]についてはg(x)=tanx/x と別々に単調減少を示そうとしました。

f(x)は単調減少が無事言えたのですが、対してg(x)は微分するまでもなく単調減少ではありません。

(sinx+tanx)/xを微分してもできそうになく感じられます…。

三角関数を扱うので敢えて帰納法を避けたのですが…。

そこで、方針を他に示してくださると助かります!

よろしくお願いします!m(_ _)m

No title

(sin(x)+tan(x))/x を微分すると

{(cos(x)+1/cos^2(x))x-(sin(x)+tan(x))}/x^2

になりますが,確かに厄介ですね。三角関数だけならまだいいのですが多項式xが混じってることが厄介です。
そこで, x>0 ならば x>sin(x) であることを利用して分子のxをsin(x)に置き換えて評価してみましょう~
0<x<π/2 において,

{(cos(x)+1/cos^2(x))x-(sin(x)+tan(x))}/x^2
>{(cos(x)+1/cos^2(x))sin(x)-(sin(x)+tan(x))}/x^2
>{sin^3(x)(1-cos(x))}/{x^2cos^2(x)}
>0

と変形できて, 導関数≧0 より (sin(x)+tan(x))/x はxの関数としては
0<x<π/2 において,単調増加です。
また x→+0 のときの極限値が2であることはおなじみの公式からすぐ分かると思います。

さて,もともと π/n =x とおいていたわけですから, 
nが大きくなればxはどんどん小さくなり正方向から0に向かっていきます。
ということは数列 {S[n]+T[n]} は単調減少になりますね。

No title

ありがとうございます!

なるほど! x>sinx を使うという発想は目からウロコです!

ですが、(sin(x)+tan(x))/x を微分した式が

{(cos(x) - 1/cos^2(x))x-(sin(x)+tan(x))}/x^2  となっているのですが、

{(cos(x) + 1/cos^2(x))x-(sin(x)+tan(x))}/x^2 

の気がするのですが、、、 。

すみません何度も。

No title

Oh...... なんということだ!
すみません,打ち間違いでしたね。

計算用紙の上では正しくやれていたのですが~~
カッコの多い式や分数式なんかは打ち間違いやすくて困りものですね。
ただ正しく計算していくと {sin^3(x)(1-cos(x))}/{x^2cos^2(x)} にはなると思うので
それが出て来る行からは打ち間違い無しかと思われます。

打ち間違い部分は修正しておきました。
方針的なミスではなさそうでホッとしました~

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Re: No title

コメントありがとうございます~

大まかな方向性は悪くないと思いますよ~
n個の異なる解があるというので,それをα[1],α[2],…,α[n]とすると,
g(x)=b[n](x-α[1])(x-α[2])(x-α[3])×…×(x-α[n])
の形で書けるので,g(x)はn次で,b[n]≠0です。
G(x)=g(x)/b[n]=x^n+B[n-1]x^(n-1)+B[n-2]x^(n-2)+…+B[0]
とおきます。G(x)=0の解もα[1],α[2],…,α[n]です。このうち1つをαとするとき,
等式 G(α|)=0 の両辺の共役をとることによって
方程式 x^n+B[n-1]|x^(n-1)+B[n-2]|x^(n-2)+…+B[0]|=0 の解もまたα[1],α[2],…,α[n]になることが確認できます。
このことに着目して各kに対してB[k]=B[k]|が成り立つことを述べてみてはいかがでしょう~

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