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誤答から学ぼうシリーズ・絶対値記号を含んだ方程式

2016.06.15 00:44|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取っていこうというシリーズです~~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

今回は絶対値記号を含んだ方程式に関する誤答の話です~
次の例題について考えます~~

問題: x は実数とする。次の方程式を解け。
(1) |x+3|=5
(2) |x+3|=2x


次のような解答(誤っています)について考えてみます~~ yotuba05.gif



r1_201606142345110b9.jpg



(1)については誤りはありません。正しい解答です。
(2)の方が誤りを含んでいます。
同じように解いただけなのに,一体何がマズかったのでしょうか。
実際,解として出てきた x=-1,3 を方程式に代入してみると,
x=-1 のときは方程式が満たされないことが分かります。
x=3 の方は満たしますね。
なぜ x=-1 のような不適なものが答えに紛れ込んでしまったのでしょう~
それが今回のポイントです~ eto_hitsuji.gif

今回の解答の着眼点を見てみます~
(1)については,絶対値が5になる実数は5と-5の2つしか無いので,
絶対値記号の中身である x+3 は5か-5のどちらかでなければなりません。
そこで x+3=±5 という立式が為されたわけです。
ここで注意したいのは,「 x+3 は5か-5のどちらかと等しい」ということは,
基本的には x が方程式の解であるための必要条件であるということです kiraneko.gif
そこから得られる x=-8,2 がともに方程式を満たすことは敢えて改めてじっくり確認しなくても分かるので
十分性のチェックは省かれています。
そして(2)においてもやはり,「 x+3 は 2x か -2x のどちらかと等しい」ということは,
 x が方程式の解であるための必要条件です。
十分条件でもあるかどうかはまだ分からないので確かめてみたところ, x=-1 は不適であり,
つまり十分条件ではなかったということが分かります~ kawauso.gif

ポイント
x を含んだ式 A(x), B(x) について,方程式 |A(x)|=B(x) を考えるとき,
A(s)=±B(s) が成り立つことは, x=s が方程式の解であるためのの必要条件であって十分条件とは限らない。


必要十分条件であると勘違いしてしまうと最初に挙げた誤答のような事態に陥ります~
そこで,次のように補えば(2)も正解になります~ kasabake.gif



r2_2016061423451243e.jpg




なお,先ほどのポイントに関連してですが, A(s)=B(s) または A(s)=-B(s) が成り立つことは
x=s が方程式 |A(x)|=|B(x)| の解であるための必要十分条件です。
|A(x)|=B(x) の解であるための必要十分条件は,
「 A(s)=B(s) または A(s)=-B(s) が成り立つ」 かつ 「 B(s)≧0 が成り立つ」 です~ m_0060.gif

これに着目すると次のような解答も可能です~~


r3_2016061423451238d.jpg



勿論, x≧-3 または x<-3 で場合分けして絶対値記号を外して解いていく
最もポピュラーな手法で解いていくのも正解です~



r4_20160614234512f0b.jpg









    
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