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誤答から学ぼうシリーズ・複素数係数n次方程式

2016.06.19 14:03|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取っていこうというシリーズです~~ くりmini

今回は,複素数を係数とするn次方程式に関する誤答を取り上げてみます~


問題: a,b を複素数の定数, i を虚数単位とする。 x に関する3次方程式



が相異なる解をちょうど2個持ち,そのうちの1個が x=i であるとき, a,b の値をそれぞれ求めよ。



では誤ったアプローチで解いてしまった例を挙げてみます~ sangurasu02.gif



s1_2016061912322098b.jpg


3次方程式が複素数 x=p+qi (p,q は実数) を解に持つとき,その共役複素数 x=p-qi もまた
方程式の解であるというよく使われる性質を利用した解答になっています~ oukan08.gif
そして答えの数値も合っています。しかしながら,今回の答案には欠陥が含まれています。

一般に,自然数 n に対して実数係数の n 次方程式は,もし複素数  を解に持ったならば
その共役複素数  も解に持つという性質があります。
スルーされがちなのですが,「実数係数の」の部分がとても大事ですよ~ koinoburi05.gif
今回の解答では a,b が実数である保証が無いにもかかわらず x=i が解だから x=-i も解であると
勝手に決めつけて論じているところに欠陥があります。

例えば2次方程式  は  と因数分解できることから
x=1,i が解であることが分かります。 x=i が解だからといって x=-i を解に持っているかといえば
そうではありませんね~
係数に虚数が混じっていると,もう共役複素数も解であるという性質は一般には成り立たなくなってしまうわけです。
 
ではそもそもなぜ実数係数の n 次方程式は解である複素数の共役複素数もまた解になるのでしょうか。
3次方程式を例に取り確かめてみます~



という実数係数3次方程式が x=α を解に持っていたと仮定します~



が成り立ちますが,両辺の共役を考えて,




共役複素数に関する計算規則を使うと,



そもそも実数の共役複素数は自分自身と一致するので,



この式は元の方程式に  を代入したものになっているので,
この等式が成り立つということは  もまた解になっているということを意味しています~ jitensya02.gif
同様のことは一般の n に対しても言えますね。

それでは正しい解答例を2つ挙げて終わりにします~




s2_2016061912322096c.jpg






s7_2016061913321544c.jpg
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