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誤答から学ぼうシリーズ・虚数を係数に含む2次方程式の実数解の個数

2016.06.19 15:17|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取っていこうというシリーズです~~ 算数mini

今回は,虚数を係数に含む2次方程式の実数解の個数問題がテーマです~


問題: kを実数の定数, i を虚数単位とする。 x に関する2次方程式



の実数解の個数を調べよ。






では誤答例を挙げてみます~~~ bakezouri.gif



s3_20160619123220807.jpg

s4_20160619123221e96.jpg


2次方程式の理論といえば判別式がよく登場します~
判別式の符号が正ならば実数解は2個,0ならば1個(重解),負ならば0個ということになっていました。
そのおなじみの性質に基づいた解答が上で挙げたものになっています~
一体何がマズいのでしょうか~

そもそもなぜ判別式の符号によって実数解の個数が判断できたのかをおさらいしてみることにします~ eto_mi.gif
実数を係数とする2次方程式  について考えてみると,
その判別式を D とおくと解の公式から,



が成り立ちます。 D>0 ならば今挙げた解は相異なる2つの実数であり, D=0 ならば 
のみが解になります。これは実数ですね。 D<0 の場合は x は異なる2個の虚数になってしまいます。
これらのことは,解が実数か否かを決める要素が解の公式の中の  の部分にのみあるから
言えることだという点に注意しなければなりません~ heratss_blue.gifheratss_blue.gif

もし係数が一般の複素数だった場合,解が実数かどうかを決める要素が  の部分のみにとどまりません。
また,そもそも D の値が虚数になってしまった場合, 正でも負でも0でもないわけですし, 
 とは何なのかという別の問題も生じてきてしまいます。
高校数学ではルートの中が虚数というものを定義していませんね。

したがって, D の符号で実数解の個数がジャッジできるのは基本的に実数係数という前提がある場合であって
係数に虚数が含まれている場合はもっと慎重にやらなければならないということを認識しておきましょう~ m_0058.gif

今回の問題では解の公式を用いると,



と書けます。これを見ると,確かに D>0 だからと言って「実数解は2個」ではありませんね~ m_0054.gif

正しく修正した解答を挙げてみます~~~

s5_20160619123221a97.jpg




なお,判別式部分に焦点を当ててここまで述べてきましたが,この手の虚数係数2次方程式の実数解の個数問題では
方程式を変形して実部と虚部に分けてしまうという手法のほうがベタです~ m_0052.gif
そちらの方も挙げて終わりにします~



s6_20160619123222d84.jpg
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