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2016年後期東北大入試理系数学 第1問

2016.06.24 01:31|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大後期入試の理系数学第1問を見てみます~

問題はこちら~ 算数mini

2016tok1.jpg



ベクトルの問題ですが整数問題の要素も含まれています~
どの j に対しても  を満たす k, ℓ が必ず存在するという仮定が
与えられています~
一応注意すべき事としては k と ℓ は異なる整数ですよ,とは一言も書いていないことです。
しかしながら,もしも k=ℓ であったとすると,  が成り立つことになりますが
 より 1=2 という不合理が起きてしまいます~
よって, k≠ℓ でなければいけません~
以下では k≠ℓ として考えていくことにしましょう~


まず,仮定の等式から内積の値を計算していくことで,

を見い出すことが出来ます。 k≠ℓ なので,  が成り立っていて,
このことから各 j に対して  をOの周りに  だけ回転移動した点は必ず点列  の中に
含まれていることが分かります dog_smile.gif


u1_2016062302034125c.jpg

      u2_20160623020342d46.jpg

u3_2016062302034231a.jpg



上述のように,すべての  は他の5個の点とともに正六角形を形成します。
ここで結論を導くために背理法を用いてみます~
 を以下のルールに従って並べ替えて  という
新しいラベル付けを設定していきます~
このラベル付けの仕方から矛盾が導かれます~ dokuro.gif



u4_2016062302034374e.jpg


というわけでひととおり結論まで辿り着きました。
内積計算から  を導き出しましたが,ここの部分は様々な着眼点から
見い出すことが出来ます


例えば  の交点を  とするとき   が3辺の比 
の三角形であることに着目してみると,


   u5_201606230203432e7.jpg


u6_20160623020343ffa.jpg




あるいは平行四辺形  が菱形になることに着目して,



u71.jpg



あるいは内積計算から cos ではなく  の長さの方を求めて,


u9_20160623020426f07.jpg



あるいは座標平面上の円で考えて,


u10_20160623020427bb5.jpg



この座標を使って証明の続きをやってみます~
 の中で  を満たすものの集合  を考えると,
これに含まれる点たちを原点周りに  の整数倍だけ回転した点たち全体で
 が網羅されてしまうことを述べていきます~ hamster_7.gif


u72.jpg


  u8_2016062302042618c.jpg

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