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誤答から学ぼうシリーズ・文字定数の分離と方程式の実数解の個数

2016.07.02 23:58|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90
今回は方程式の実数解の個数を調べる定番問題に関する誤答を挙げてみます~


問題: k を実数とするとき, x に関する方程式  の実数解の個数を調べよ。


それでは誤答例を挙げます~


y1.jpg


この手の問題では上の解法のように「実数解の個数」を「2つのグラフの共有点の個数」として
捉え直すという手法がよく用いられます~
その際,文字定数 k を分離するという作戦がとても有効です heart15.gif
2つのグラフのうち一方が x 軸に平行な直線になってしまうため共有点の個数を数えやすくなるんですよね。
今回の誤答でも例に漏れず文字定数の分離を行ったわけですが,この部分に欠陥が生じてしまっています。
生たして何がマズかったのでしょうか。

例えば,次の4次方程式を考えてみましょう~



これは x=0,1,2 という3個の実数解を持ちます。
この方程式の両辺を x で割ると,



という3次方程式になり,こちらは x=1,2 という2個の実数解を持ちます。
実数解の個数が1個減ってしまいました。

このように,一般には方程式の両辺を何らかの式で割ってしまうと,
元の方程式と同値な方程式ではなくなってしまうことがあるのです haibisukasu01.gif
つまりは解の集合が変わってしまったり,重複度が変わってしまったりするのです。
[1]と[2]はもはや同値な方程式ではありませんが,[1]の両辺を x-3 で割って,



という方程式を考えると,その実数解は x=0,1,2 のままで元の方程式と変化がありません。
もう少し丁寧に見てみましょう。
元の方程式が x=3 を解に持たないため,「 [1]が成り立っているならば x≠3 」が成り立ちます。
よって[1]の両辺を x-3 で割ることが許され,[3]が成り立ちます。
つまり,「 [1]が成り立っているならば[3]が成り立っている」ことがいえます。
一方で[3]が成り立っているとすると,分子=0でなければならないので,[1]が成り立ちます。
このことから, 「 [1]が成り立っている⇔[3]が成り立っている」ということがいえます futaba.gif

一方,[1]の両辺を x-2 で割ると,



という3次方程式になり,実数解は x=0,1,2 となり元の方程式と変わりがありません。
しかし,元々重解だった x=2 が重解ではなくなってしまいました。
重複度を込めて考えると[1]と[4]はやはり同値な方程式ではなくなってしまっています。
これも少し丁寧に見てみます。
[1]が成り立つとき, x=0,1,2 であるわけですが, x≠2 であるという仮定を設けてみると
両辺を x-2 で割ることが許され,[4]が成り立ちます。
また,[4]が成り立つなら x=0,1,2 なので[1]も成り立ちます。
よって,「 x≠2 かつ[1]が成り立っている⇔ x≠2 かつ[4]が成り立っている」
は成り立ちます。つまり, x≠2 という前提のもとでは[1]と[4]は重複度を込めて同値です。
x≠2 であるような x については[1]の代わりに[4]を考えても差し支えないけれども
x=2 における吟味は[4]は使うことが出来ず[1]を用いなければいけないということになります~ fuurin01.gif

これらの例を踏まえた上で今回の例題を再考しましょう~
元の方程式 



は k の値によらず x=0 を解に持ちます。
よって両辺をxで割ってそれを整理して得られる方程式



を考えたとき,「 x≠0 かつ[5]が成り立つ⇔ x≠0 かつ[6]が成り立つ」
ということは言えますが,[5]と[6]は同値な方程式ではありません。
x≠0 であるような実数解の個数は[6]を考察すれば分かりますが,
[5]の実数解の個数を考えるときには x=0 の分を付け加えてあげないといけません~ 8269809.gif
それでは正しい解答を挙げておしまいにします~ 8261165.gif


y3.jpg

y4.jpg


y5.jpg









   
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