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誤答から学ぼうシリーズ・不連続な関数の原始関数

2016.07.03 03:17|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


今回は不連続な関数の原始関数に関する誤答を挙げてみます~

問題: 以下の条件をすべて満たす関数 f(x) を求めよ。
・ 定義域は x≠0 である。
・ 定義域全体で  が成り立つ。
・ y=f(x) のグラフは点 (e,1) を通る。
・ y=f(x) のグラフは x 軸と相異なる2点A,Bで交わり,更に P(0,1) とおくと
 △PABは二等辺三角形になる。





それでは誤答例を挙げます~


z1.jpg



 という条件から f(x) は  の原始関数であることが分かります wink02.gif
よく知られたように,

   

が成り立ちます。 C は積分定数です。このことに着眼し,上の誤答例では 
 ( C は実数) の形で書けるというアプローチをしています。
ところが,ここに問題点が潜んでいます yotto.gif

さて,関数  は x<0 と x>0 のそれぞれにおいて連続ですが, x=0 では定義されず,
全実数で定義された連続関数とは言えません。
ちょっと難しい言葉を用いると,定義域が2つの連結成分から構成されています。
正の実数全体に制限して考えれば  の原始関数の一般形は  (  は実数)
の形をしています。一方,負の実数全体に制限して考えれば原始関数の一般形は  
(  は実数) の形をしています。
ここで注意すべきは,定義域を x≠0 として考えたとき,  である必要はないということです star-ani01.gif
異なっていて構わないのです。
このため,  の原始関数の一般形は



(  は実数) という形をしています~

そういうわけで,上の誤答例で一体何がマズかったかというと,
 ( C は実数) としていたところであり,定義域全体で共通の定数 C を
用いていたことなのでした kaeru_en1.gif

   ( C は積分定数)

という記述を普段目にするので,ついつい見落としそうになってしまう誤答例ですね。
この等式は各連結成分ごとに成り立っているという意味合いで受け止め,それゆえ積分定数 C の取り方は
各連結成分ごとに異なっていいのだ,という捉え方をしておけば大丈夫でしょうか。
「 C は積分定数」と書くのと「 C は実数」と書くのとではギャップがあるようですね。
不定積分と定義域の関連については教科書などでもあまり詳しく触れられずスルーされがちです。
ややこしいのに。むしろややこしいからスルーされてるんでしょうか?定かではありません。

そもそも「不定積分」の定義はいくつかあり,文献によって異なることがあります。
教科書ごとに違っていることもあります。
原始関数という言葉と同意語のように扱われることもあれば異なるものとして扱われることもあり,
そういった曖昧さを踏まえると定積分なんかよりずっと厄介なものだったりするのかもしれません。

それでは,正しい解答を挙げておしまいにします~


z2.jpg


    z3.jpg


   z4.jpg









 
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