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誤答から学ぼうシリーズ・極限と係数決定

2016.07.03 13:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は極限と係数決定の問題に関する誤答を挙げてみます~

問題: a,b,k を実数の定数とする。このとき,等式



が成り立つための a,b,k に関する必要十分条件を求めよ。



それでは誤答例を挙げます~


aa1.jpg




極限に関する等式が成り立つための条件を考察する問題は定番ですね~
今回のように分数型の関数の極限が考察対象である問題では大体の場合,分母か分子の一方の極限が
0になっています。今回も



が成り立っていますね。ただここで注意しなければならないのは,分母と分子のどちらの極限が0なのかによって
状況が少し異なるという点です~ dog_angry.gif

少し一般論に移ります。もしも,  が成り立っているならば  が有限の値 α に
なるための必要条件は  です。



だからですね。つまり,  が  型の不定形になっていなければならないわけです。
ただし,あくまで必要条件であって十分条件であるとは限りません kaeru_en4.gif
例えば,  であったら,  は存在しません。
右側極限と左側極限が一致しないですね。

そこで十分性の確認,すなわち実際に有限な極限値をもつのかどうかを検証してみなければいけません。
その結果として極限値を持ったり持たなかったりするわけです。

一方で,はじめに  が分かっていた場合は,   が有限の値 α に
なるための必要条件は  ではありませんm_0150.gif
 のいずれかの場合でも
 となり,有限の値に収束します。
0以外の有限な値 α に収束するための必要条件が  なのです~

 

となるからですね。やはりこれも必要条件に過ぎないので,十分性についての考察が必要です~


今回の誤答例のマズかった点は,  を  が有限な極限値を持つための
必要条件としていたことで,実際は0以外の有限な極限値を持つための必要条件とするべきでした。
その誤解のせいで, 2a+b≠0 が成り立つときの議論がすっぽり抜け落ちてしまっています~
この手の問題では分母の方の極限が0になっている設定が多く,盲目的に  型の不定形になればいいんだ
という発想に走りがちですが気をつけましょう~ oni.gif



それでは正しい解答に行ってみましょう~




aa2.jpg
aa3.jpg
aa4.jpg








   
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