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誤答から学ぼうシリーズ・変数変換と極限

2016.07.04 15:02|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini
今回は変数変換を経由した極限計算に関するある誤答についてです~


問題:  を計算せよ。ただし,実数 x に対し, [x] は x を越えない
最大の整数を表すものとする。



それでは誤答を挙げます~



cc1.jpg


三角関数が絡んでくる極限計算の問題では,  と結びつけて解いていくものがほとんどです。
まぁ,はさみうちの原理や区分求積法などと結びつくものもありますが~
今回の誤答例でも,この関係式と結びつけていくべく,  という変数変換を施しています
 すなわち  なので,計算すべき極限の式において
 を  に置き換えて, t に関する極限計算に帰着させている流れになっています。
これの一体何がマズいのか,と思うかもしれませんがマズいのです~

t→0 というのは t が限りなく0に近づくという意味ですが,その近づき方は1通りではありません。
正方向から0に近づくこともあれば,負方向から近づくこともあり,また正側と負側を行ったり来たりしながら
近づくこともあります。更には,連続的に近づく場合や離散的に近づく場合もあります。
 (αは実数) が成り立つためには, t が0にいかなる近づき方をしても f(t) の値が α に
近づいていかなければなりません。ある特殊な近づき方をすると f(t) が α 以外の値に近づいてしまう場合は
もはや  とは言えません。

今回の誤答の中では左側極限と右側極限が異なるため,  は存在しないという
結論に到達しました。
しかしながら,実はそもそも  を  に置き換えている時点で誤っています zzz02.gif
確かに  ではあるのですが,特に正方向から0に近づいているというところを
見落とすわけにはいきません kaeru_cry.gif
 を t を  に戻してみると,  になりますが,
この状態で x→∞ とするような極限を考えているのだから,これは右側極限  
と等しいはずです~ m_0194.gif
 にしてしまったところが今回の誤答のダメなところなのです。

 が  になってそれが  になった,と考えると分かりやすいかもしれないですね。
「 x を限りなく大きくしたときの極限」と「 t を限りなく0に近づけたときの極限」は同等ではないということには
注意が必要ですね。

よく参考書には  を求める問題が例題として載っています。
今回と同じ変数変換を施して,  
と書いてあることがあります。これも本来 t→+0 とすべきものであるし,上述してきたような注意点は
記載されていないことが多いです。

それでは正しい解答を挙げましょう~



cc2 1



次のような解答も可能です~ ny_kadomatsu.gif




cc3.jpg
cc4.jpg








   
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