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誤答から学ぼうシリーズ・極限と連続関数の順序交換

2016.07.05 12:19|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini

今回も前回に引き続き極限の取り方に関する誤答です~


問題:   を計算せよ。ただし,実数 x に対し [x] は xを越えない最大の整数を表すものとする。


それでは誤答例を挙げましょう~


dd1.jpg



今回は極限と関数の連続性がテーマです~
大きなポイントは,全実数で定義された関数 f(x), g(x) に対して,    ( α は実数)
が成り立っているときに,



は成り立つかどうか?という点です~
f(x) を作用させてから極限をとったものと,極限をとってから f(x) を作用させたものとの比較なので
言わば lim と f の順序交換です。これをしてもいいのかダメなのかという問題提起ですね yotuba06.gif

上の解答で言えば,   の場合において,



という計算を行っています。残念ながらこの計算は正しくありません~

(*)が成り立つかどうかという点は f(x) が x=α で連続かどうかという点が関係してきます。
f(x) が x=α で連続だったとします。
t=g(x) とおいたとき, x→∞ において t→α となるので, xy 平面上の点 (t , f(t)) は
y=f(x) のグラフに沿って (α,f(α)) に近づいていきます~
こうして(*)は成り立ちます onpu10.gif


dd8.jpg

なお,  が成り立つ任意の数列  に対して 
が成り立つことが f(x) が x=α で連続であることと同値です。
こうした話は大学数学でしっかり理詰めしていきます~



しかし,もしも f(x) が x=α で連続でなかったならば状況が変わります。
例えば下図のようにグラフが x=α で途切れてしまっていたとします。
しかも x→∞ において正方向から t→α となっていくと仮定すると, xy 平面上の点 (t , f(t)) は
y=f(x) のグラフに沿って正方向から  に近づいていきます。
(α,f(α)) には近づいていかないのが分かります~ kusyami01.gif


dd5.jpg


このように,不注意のまま極限と関数の順序交換をするのは非常に危険であることが分かりました~
今回の誤答を例に取ると,



という計算が許されるだろうか?という部分を検討しなければいけません。
y=sin x は実数全体で連続なので,



に関しては問題ありません。ここで,



とおくと, y=f(x) は x=α(=1) において不連続であることが分かります。


dd6.jpg


 のグラフは下図のようになっていて, x>-1 では単調増加です。

dd9.jpg


x→∞ のとき負方向から  に近づいていくことが見て取れます。
このとき t の値は負方向から α(=1) に近づいていくので  となり,
 となってしまうので,(*)が成り立ちません。

(*)型の計算をするような場面では常に関数の連続性には注意をしましょう~ katorisenko02.gif


それでは正答を挙げます~



dd2.jpg



次のような解答もあります~ katudon.gif



dd3.jpg




dd7.jpg






   
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