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誤答から学ぼうシリーズ・同じものを含む円順列

2016.07.06 02:19|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ

今回は場合の数の分野からです~



問題: 8個の皿が置ける円状のミニ回転寿司機がある。これのレール上にサーモン2皿,ウニ2皿,まぐろ4皿を並べる方法は何通りあるか。



それでは誤答例です~


ee1_201607060144582ca.jpg


今回は同じものを含む円順列に関する誤答がテーマです~
同じものを含む円順列の問題は,普段使う円順列の公式を単純に当てはめて解いてしまおうとすると
痛い目に遭うことが多いので慎重に対応していく必要があります~ korobo.gif
そこでまず,Aの配置パターンが何種類あるか調べて分類し,そのパターン毎に考察していくという手法を
とるというのがベタなアプローチです。

なお,1個のAを固定して残りの7個について

 (通り)

としてしまうと重複が起きてしまうので注意です。


ee2_20160706014458bd9.jpg



誤答例の中の[ア]~[エ]は2つのAの間に別の文字が何個入るかに着目して分類しています。
ゆえに[ア]~[エ]についてはそれぞれ互いに排反です。
各パターン毎にあとはBの入る2箇所の○を選べばいいというところまでは何も問題はないですし,
[ア]~[ウ]については6箇所から2箇所を選んでくることを考えるだけで重複なくカウントしていけます。
ところが,[エ]のパターンだけはそう容易くはいかないのです~ m_0100.gif

[ア]~[ウ]とは違って,[エ]だけは半周の回転で自分自身と重なる,いわゆる点対称な配列になっています。
このため,単に6箇所の○からBの入る2箇所を選ぶだけでは重複が起きてしまう可能性があります~ m_0074.gif


ee3_20160706014459d8a.jpg

例えば上の2つは同一の配列として処理しなければいけないので重複カウントしないように
注意しなければならないわけです。
すべての配列が2回ずつカウントされるのなら2箇所の○の選び方の総数を2で割るという形で処理できるのですが,
1回しかカウントされないものもあるわけで,一筋縄ではいきません~ ny_tako.gif




ee4_20160706014459f67.jpg


上の例のように半周回転で自分自身と一致してしまうようなものは一度しかカウントされないのです。
2回カウントされるのは半周回転で自身と一致しないものです。

半周回転で自分自身と一致してしまうのは以下の3つの配列です。


ee6.jpg



それ以外は重複カウントされることを踏まえて正しい解答にいってみます~ s2_sum_sunflower.gif




ee7.jpg


ee5_201607060145000c6.jpg





同じものを含む円順列・数珠順列の問題ではこのような対称性が絡む面倒の処理が
最大のポイントになってくることが多いです。
気をつけましょう~~ kaeru09.gif







    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

質問です(°_°)

以下のlog2の2は、小さく表示される2として普通に捉えてください。

関数y=log2(x^2-√2x+5/2)について、aを定数とするとき、xの方程式

{log2(x^2-√2x+5/2)}^2-4log2(x^2)-√2x+5/2+a=0

が、2個の解をもつとき、a=4である。

という問題で、この問題はaを左辺に移動して、log2をとり、求めるのは分かるのですが、

この問題のときって「真数は正だから~」の下りはやらずに求めてしまっていいんでしょうか?

No title

コメントありがとうございます~

方程式の実数解の個数を求める問題の応用編ですね。
「文字定数 a を分離して考える」の部分の発想は良いと思います~
その後の「log2をとり」の部分は若干上手くはないような気がしますね。

{log2(x^2-√2x+5/2)}^2-4{log2((x^2)-√2x+5/2)}+a=0

という方程式は y^2-4y+a=0 と書き直せます。
文字定数を分離して a=-y^2+4y
横軸を y 軸,縦軸を z 軸と書くことにすると,yの方程式としては実数解の個数が
z=-y^2+4y のグラフと直線 z=a の共有点の個数で求められます。
ただし, y=log2(x^2-√2x+5/2) とおいていたわけなので, y の取り得る値の範囲は
実数全体ではありません。ここで, y の動ける値の範囲を調べておきましょう。
t=x^2-√2x+5/2 とおくと,平方完成すればすぐ分かりますが t≧2 となるので
y=log2(t) の動く範囲は y≧1 となります。

したがって,z=-y^2+4y (y≧1) のグラフと直線 z=a の共有点の個数を
考えれば良いことになります~
共有点の y 座標が1であるときはそれに対応する t が1個あり,さらにそれに対応する
x が1個あります。
共有点の y 座標が1より大きいときもそれに対応する t が1個ありますが,それに対応する
x は2個あります。

このことを踏まえて考えると,元々の方程式がちょうど2個の実数解を持つのは
a=4 のときで,このときは直線 z=a が放物線 z=-y^2+4y (y≧1) 
の頂点を通っていて, y=2 です。対応する t は t=4 で,
さらに対応する x は x=(3√2)/2,-√2/2 の2個になっています。


さて,「真数は正だから~」の下りの件ですが, y=log2(t) に関して,
t=x^2-√2x+5/2 から t≧2 であることを確かめているので,任意の実数 x に対して
真数 t は正であることが確かめられています。
このように,答えに到達する過程でしっかり真数に触れることになります~

ありがとうございました!

とても分かりやすかったです☺ありがとうございました!

tと、置くところを、y=log2(x^2-√2x+5/2)
の(カッコ内)をx=○○とだして、真数は正なので~とやってしまっていました(;;)

いま受験生でして、解説でよく分からないところなど今後質問するかもしれないのですが、もし、お時間があれば、よろしくお願いしますm( _ _ )m

これからもブログ更新楽しみにしてます✩

No title

再びコメントありがとうございます~

方程式の実数解の個数を求める問題は入試では定番ですが,
変数変換を経由するタイプの応用問題はきちんと理屈を理解するまでは
頭が混乱しやすいものの1つです。
今回は x→t→y と変数が3段階に変化したのでだいぶややこしいですね~

1つの y に何個の x が対応するか?
のようなことを考える仕組みが分かってしまえば
品物が今回のように対数じゃなくて例えば三角関数など別のものに変わっても
ベースとなる考え方は同じなので取り組みやすくなると思います~

奇を衒った問題で苦戦するのはある程度仕方ないとして,標準的な定番問題を
どれだけ確実に征服できるかといったあたりが夏以降の時期ではかなり重要になってくると思います~
受験頑張ってください~v-354
時間が許す範囲での対応しか出来ませんが~~
非公開コメント

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