プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

誤答から学ぼうシリーズ・恒等式か方程式か

2016.07.08 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


今回は高次方程式と複素数に関連する問題の誤答を挙げます~


問題: 実数係数の3次方程式



が x=2+3 i ( i は虚数単位) を解に持つとき,実数 a,b の値を求めよ。また,この3次方程式の解をすべて求めよ。




それでは誤答例を挙げます~


gg1.jpg



答えの数値は実は合っているのですが,それを求める論拠に若干難ありという具合です。
上の解答のアプローチの仕方を振り返ってみましょう~

方程式が x=2+3 i を解に持つので, x=2+3 i であるときには等式



が成り立っているはずなのですが,いざ代入して計算しようとしてみると3乗の計算は怠いなあと思うわけです。
そこで,3乗の計算を回避するために割り算を用いた次数下げを実施しています~ dog_shy.gif



なので,  を  で割ったときの商と余りをそれぞれ
Q(x), R(x) とおくと,



が成り立ち, x=2+3 i としたときには  より



という式が得られるわけです。

いま注意しなければならないのは,ここで得た R(x)=0 という等式に含まれる x の正体は
2+3 i という定数であって,様々な値を取れる変数ではないということです。
つまり R(2+3 i )=0 という等式です。
x に関する恒等式として R(x)=0 を得たわけではありません~ eto_tatsu.gif
このため,上の誤答例でやっているような係数比較の立式は不適当です。

本来ならば





という, a,b に関する方程式を考え, a,b が実数であるという仮定から連立方程式



に帰着させるべきだったのです。

もしも R(x)=0 を x に関する恒等式として捉えたかったら,別のアプローチをしなければいけません~
実数係数の3次方程式であるということから 2+3 i の共役複素数である 2-3 i も方程式の解である
ということに着目します~ hiyo_ang2.gif
このため,  は  を
因数に持たなければいけないことから,先ほどの割り算を実行したときに余り R(x) が恒等的に 0 と
等しくなければいけません~


これが論拠になって R(x)=0 が x に関する恒等式となり,係数比較による立式が許されるようになります。
パッと見では全く同じ R(x)=0 という式ですが,それが( a,b に関する)方程式なのか,
( x に関する)恒等式なのかは状況次第で変わってきます。
正しく状況を掴んで立式できるようになりましょう~

それでは正しい解答を挙げます~
まずは誤答例と同じ方針でいきます~~~ kojika.gif



gg2.jpg
gg3.jpg
gg4.jpg




次に R(x)=0 を x に関する恒等式として捉える方針でやってみます~ m_0244.gif



gg5.jpg



また,3次方程式の解と係数の関係を用いた方法なんかもあります~ aicon432.gif



gg6.jpg









   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。