プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2016年後期東北大入試理系数学 第4問その1 

2016.07.10 01:32|大学入試問題
どもども。

今回は今年の後期東北大入試理系数学第4問の前半戦を見ていきます~

問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

2016tok4.jpg


面積の最大値を求める問題です~
与えられた曲線は楕円の上半分ですね~
(1)は四角形OAPCの面積の最大値を求める設問です。
どういう手法で最大値を求めるかによって三角関数の問題になったり微分の問題になったり
平面幾何の問題になったりします buta.gif

まずは四角形OAPCを△OACと△ACPに分けて考えてみます~
Pの位置によらず△OACの面積の値は一定です。
ということは,△ACPの面積がいつ最大になるかを考えればよいですね。

ACを底辺とみると,この長さは変動しないので高さが最大になれば面積も最大になります~
高さは点Pと直線ACの距離と等しいので,点と直線の距離の公式が利用できそうです~
 とおくと三角関数の問題として処理できます~ dog_happy.gif


ii1.jpg



点と直線の距離の公式を用いない方法を考えてみましょう~
直線ACを y 軸の正方向に平行移動していくと,直線が上へ行けば行くほど元の直線ACとの距離は長くなります。
やがて境界の楕円と1点で接するはずです。このときの接点をPとすると△ACPの面積は最大になります。
これ以上直線が上に行ってしまうと楕円と共有点を持たなくなりますからね。
よって,接線の傾きが-2になるPを見つければ良いことになります~


ii2.jpg





いま △OAP+△OCP で面積を出したように,このような分割で考えていく方針もありますね。
2つの三角形はどちらも軸上に1辺があるので面積の立式は容易です~ kaeru_en4.gif


    ii3.jpg
ii10.jpg



 とおいたらどうなるかも検証してみましょう~
計算してみると分かりますが,四角形の面積は2つのベクトル  の
内積とみなすことが出来ます。
その値が最大になるのはこの2つのベクトルが同じ向きでありなす角が0のときです~


ii5.jpg


相加平均と相乗平均の関係を用いて



のように処理することも可能で,微分を用いなくても様々な処理ができたりします。
不等号部分の等号成立条件は  から  です~

勿論,微分を用いて処理っていうのもありですね~


ii6.jpg


ii10.jpg



次はあまり上手くない変数の取り方を試してみます~
∠AOP=α とおいて, α を変数としてみることを考えてみましょう~
この場合四角形の面積も他のものとは違いやや面倒くさい形になってしまうので
微分して増減を調べるのも割と面倒です~~
何を変数とするかっていうのはやはり大事ですね。


ii7.jpg
ii8.jpg



最後に楕円を縦に圧縮して円の話にすりかえてしまう方法を試してみます~
境界の楕円は原点を中心として縦方向に0.5倍してしまうと円になってしまうことに着目します~ m_0033.gif

このとき圧縮後の四角形の面積は元の四角形の半分であることから,
圧縮後の四角形の面積が最大ならば元の四角形の面積も最大になります~
圧縮後の図形はとても考えやすいです。


ii9.jpg






(2)は次回やっていきます~~ kaeru_night.gif






   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。