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2016年後期東北大入試理系数学 第4問その2

2016.07.11 00:00|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきましょう~~

問題はこちら~ 算数mini

2016tok4.jpg


前回は四角形の面積の最大値でしたが今度は五角形です~
五角形の形状としては,EとFがともに第1象限か第2象限の一方にある場合と
それぞれに1つずつある場合の2パターンに大別されます bakezouri.gif
後者の場合は(1)で考えた最大面積の四角形2個分に相当するときが
五角形の面積最大なので(1)が終わった時点でもうほぼ話は終わっています。


jj1.jpg


問題はEとFがともに第1象限か第2象限の一方にある場合です~
ともに第1象限にあると仮定しておいて支障はありません。

ここでまた大きく手法が2つに分かれます。
実際に五角形の面先の最大値を求めていく方針と実際には求めず不等式で評価していく手法です。
まずはいくつかの方法で五角形の面積の最大値を求めてみます~ dog_angry.gif




とおいてみます。
五角形を△OBC,△OCF,△OEF,△OAEの4つの三角形の合併と考えて,面積を α,β の式で表してみます~
途中で  というかたまりが出てきますが, β=2α が成り立つときにはこの値は1になってしまうので
1に置き換えて上から評価してしまいます。
こうすることで α を除去し β のみの関数に移行できます。
ただし,このような議論をするときは http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-299.html
で挙げたような誤答が起きないように注意が必要です~ dododo.gif



jj2.jpg
   jj3.jpg



4つの三角形に分けるほか,2つの三角形と2つの台形に分けるなども出来ますね。


jj6.jpg






凸関数の性質を利用する方法もあります~
 において y=sin x は上に凸なので  であるとき



が成り立ちます~
下図において三角形の重心の位置を考えれば分かりやすいですね。

jj7_20160710141854169.jpg
jj8.jpg


三角関数を用いずにやってみましょう~


jj9.jpg
jj10.jpg


この  が f(t) の定義域 0<t<s に含まれていることを確認して  が最大値になることを言います。
この最大値は s の関数になっているので今度は s を動かしていきます。
ただ,複雑な形の関数なので  という変数変換を考えます。
そうすると  は  の2次関数になってしまいます m_0037.gif





jj11.jpg

jj12.jpg



前回は楕円を縦に圧縮して円にして考えるということを試してみました。
今回も試してみましょう~
圧縮後の五角形の面積の最大値を考えてみます。
大体予想はつくと思いますが,四分円を3等分するように頂点を取ればよいのですが,
それを実証するのを前回同様に三角関数や微分に頼らずにやってみたいと思います。


jj17.jpg
jj18.jpg
jj19.jpg




ここまでは五角形の面積の最大値を求める方針でしたが,
今度は求めない方針を試してみましょう~ teng.gif

Eを第1象限に取ります。
もしFを第2象限に取るなら,  の位置に取るのが最良というのが(1)から分かっています。
Fを第1象限に取るとき,どんなに頑張っても面積は五角形  に及ばないことを示します tanuki.gif


jj13.jpg
jj14.jpg
jj15.jpg
jj16.jpg




あるいは,五角形 <△OBC+(楕円の1/4)<2(四角形
を示すという方針もあります~ kaeru0-02.gif





jj20.jpg
jj21.jpg














    
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