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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(B) その3

2012.10.07 18:06|高校入試問題
どもども。

今回も今年の宮城県公立高校入試の数学,選択問題Bの第5問3をやっていきます~算数mini


問題はこちら~
mon5b3.jpg

q1.jpg


mon5b4.jpg

q2.jpg


mon5b5.jpg


前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-31.html


今回は(2)の(イ)をやっていきますよー

何やら複雑な図形ですが,前回も述べたように使える図形の性質がいっぱいありますsreep_dog.gif
合同,相似,平行,正三角形,平行四辺形,直角…
上手く駆使して問題を解いていきたいところですが,
使える性質がたくさんありすぎるのもまた,打つ手に悩んでしまいます。

(ア)でFEの長さを求めています。
△AEFは正三角形なので(前回参照),
FE=EA=AF=2√21cmが分かっています。
四角形AGECの面積を求める上で,他に必要となる情報は
点Gに関するものです

GはAG⊥EFとなるように取られたものだ,
ということしかまだ分かっていないので,
AGの長さはいくらなのか,
GEの長さはいくらなのか,
といった辺りは少し考察を加えてみないといけませんね。


次に,どうやって四角形AGECの面積を求めるか,
という方針立てが重要になってきますcar2_dump.gif
四角形AGECは正方形,長方形,平行四辺形,ひし形,台形,…のような
明快な面積公式を知っているベタな形の四角形ではありません。

従って,その面積を求めるには何かしらの工夫が必要です。
具体的には四角形を複数のパーツに分解して,
それらの足し引きで面積を求めるという方針ですh-doubutu.gif

例えば対角線AEで2つの三角形に分割して
△AEG+△AEC として求める。
あるいは対角線CGで2つの三角形に分割して
△ACG+△ECG として求める。
そして,もっと別の分解も考えられます。
どれくらい思いつきますか?dog_happy.gif



とりあえず今回は幾つかの分解の仕方でこの面積を求めてみようと思います~



q6.jpg


△AEG+△AEC で求める

恐らく,この分割の仕方で解く人が一番多いのではないかな??という気がしますpanda_1.gif

△AEGの面積を求めるにあたっては,
例えばAGを底辺,EHを高さとみるパターンや
EGを底辺,AKを高さとみるパターンが分かりやすいかと思います。
AHは1辺2√21cmの正三角形AEFのEFを底辺としてみたときの高さにあたるので
その長さを求めることは容易いです。
あとは線分比AH:HGが分かればAGの長さは求められそうです。
これを求めるためには例えば△FHM≡△EHGに気付いて
着目できるかがポイントになりますoden.gif


一方の△ACEの面積ですが,直接求めるもよしですし,
(1)で証明した通り,△ABFと合同なので
△ABFの面積を求める手もあります。
その場合はFBを底辺,ALを高さとみることが出来るので
見通しはいいかもしれないですね
等脚台形ADECに着目して△ACE≡△DECになるので
△DECの面積を求めるなんて作戦もあります。

r1.jpg


r2.jpg


こんな具合になります。AGの長さを求められるかがやはり勝負の分かれ目になりそうですね

今度は△AGEの面積をGEを底辺,AKを高さとして見て,求めてみます~


r3.jpg


次に挙げるのは直接△ACEの面積を求めてみたパターンです~
∠ACE=120°になることを有効利用します。

r4.jpg


△DCEの面積を求めてみたパターンですny_kadomatsu.gif


r9.jpg




△ACG+△ECG を求める

△ACGについてはAGを底辺に,△ECGについてはEGを底辺にする
解法を1つ挙げてみますladybug.gif

r5.jpg


△ACGについてですが,これを更に
△AMC+△GMCと2つの三角形の面積の和に分解すると
△AMCを底辺CM,高さALとして,
△GMCを底辺CM,高さLKとして求めることも可能ですkaeru11.gif




対角線で2つの三角形に分割,という分かりやすい分割方法で解いてみましたが,
次回は更に別の分解方法を考察してみたいと思いますsuika.gif





   
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