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誤答から学ぼうシリーズ・接線の本数と接点の個数

2016.07.12 13:37|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は定番の接線の本数ネタです~

問題: k を実数とする。曲線  の接線で点 (2,k) を通るものがちょうど2本存在するような
k の値を求めよ。




それでは誤答を挙げます~


kk1.jpg


今回は特定の点を通る接線の本数に関する問題ですね。
一般論としては,関数 y=f(x) の接線で点 (p,q) を通るものの本数を求める問題では,
y=f(x) のグラフ上の点 (a,f(a)) における接線  が点 (p,q) を
通ると仮定して, a に関する方程式  を考え,
この方程式が何個の実数解を持っているかを考察するというアプローチがスタンダードです。
つまり, (接点の個数)=(接線の本数) と捉えているわけです
ただ,いわゆる「複接線」を持つような曲線が相手の場合はこのアイデアがそのままでは使えないので注意が要ります~

複接線というのは曲線と複数の点で接している直線のことですね。
2次関数や3次関数を扱ってるうちは複接線の問題は生じないのですが,4次関数以上になるとこの問題が生じるため
すごくデリケートに扱わなければいけなくなります。
ただ,複接線を考慮しないと痛い目に遭う問題は基本的に4次関数を相手としたものが殆どであり,
数3で扱うような多項式以外の複雑な関数を題材とした問題は稀だと思います。
実数解の個数を数えていく中心議論と同等以上の面倒な計算量がある場合もあり,
また複接線の方程式や接点の座標ががキレイに求まらなかったりする場合もあり,
問題の全体像がぼやけてしまいかねないなどの事情があるのかもしれません~
このため,数3レベルの複雑な曲線に関しては基本的に (接点の個数)=(接線の本数) が成り立つような
問題設定がされていて,複接線に関する細かい計算までは要求していないケースが多いような気がします。(断定はしておかない)
微分して増減を調べないと曲線の概形の予想もつかないような関数が対象になってることは少なく,
関数の式を見ただけでおおまかな曲線の概形がイメージできるものが多いので
 のような関数くらいまでならよく見かけます),
複接線があるかないかの判断は容易につくと思います(概ね複接線はないでしょうけど)。
ただ,たまたま入試では出にくいのかもしれませんが,入試という枠組みを無視すれば
複接線に気をつけようという注意喚起自体はとても重要な事なわけです。

今回の誤答は  (接点の個数)=(接線の本数) と捉えてしまったために失敗してしまったものになっています~
関数  は不連続関数ですが,このような関数のグラフは変曲点が1個以下であっても
複接線のようなものを持ってしまうことがあります(連結でない曲線についても複接線と呼んでいいのかどうかは
よく把握してないので敢えて「のようなもの」とぼかしておく)。
曲線の概形を描いてみると確かに1本複接線のようなものが存在していることに気付けるので,
今回は少し注意深く議論をやっていかなければいけません~

y=f(x) のグラフ上の点 (a,f(a)) における接線  と (b,f(b)) における接線 
 が一致するのは a=b のときだけなのか他にもあるのか。
それを調べることで複接線の有無を考察できます~
2つの接線の式について係数比較をしていけば良いですね~

それでは正しい解答にいってみましょう~

kk2.jpg
kk3.jpg

kk4.jpg
kk5.jpg


補足事項としては, y=f(x) は奇関数であることに触れていましたが,
原点を通る接線を考えれば接点も対称に2個存在するため複接線のようなものが出てきてしまうということです~


kk6.jpg



また, x>0 における f(x) の最小値は相加相乗平均の関係を用いて求めることも可能です~


kk7.jpg




kk8.jpg










    
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