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誤答から学ぼうシリーズ・極限値の存在とその大小

2016.07.13 02:51|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ

今回は極限値の取り扱いに関する誤答を挙げてみます~~


問題:  で定義される数列  について,
 が成り立つことを示せ。




それでは誤答例を挙げます~



ll1.jpg


任意の自然数 n に対して  が成り立っていることさえ分かれば,あとは極限をとって   
が得られるだろう~ という発想です。この誤答例では2つの誤りが起きています~

まず1つ目の誤りは  の存在を勝手に仮定していることです。
問題文の「  が成り立つことを示せ」とは,
「  が存在し,かつ  が成り立つことを示せ」 という意味に解釈します。
この極限値の存在は初期段階ではまだ確かめられていないのです~ patikapa.gif

そして2つ目の誤りは極限値の大小関係についてです~
一般論から言うと,もしも  ( α,β は実数) かつ任意の自然数 n に対して
 が成り立つならば, α≦β が成り立ちます~
α<β ではありませんので気をつけてください。 α と β は等しいこともあり得るのです~ panda_2.gif
例えば,  だとすると常に  が成り立ちますが, 
 ですよね。

よって,上の誤答例の中で,  を示すところまではいいものの,極限の存在を認めることにしても
そこから得られる帰結は  であって  ではないのです~ aicon_bbs17.gif
 が別に示されれば解決ではあるのですが,上の誤答例ではそれは確かめられていませんでした。


では誤りを修正していくことにしましょう~
まずは極限値 α の存在を確かめたいです。もしも  が存在すると仮定すると,
 から  が成り立つので,
この方程式を解いて α の値は  のうちどちらかということになります。

漸化式の形から  になることはなさそうなので  であろうと類推できます。
あとはこれを実証していかなければいけません~ hachi02.gif

 が確かめられれば良いので,元の漸化式から



となることに着目します~
もしも任意の自然数 n に対して  であるならば上の式から



に移行できるので,等比数列を表す漸化式の取り扱いと同様の発想で



が得られます~
 からはさみうちの原理より  が言えるようになります。

誤答例では  が常に成り立つことを示していましたが,むしろ  を示してみる方が
何かと都合が良さそうです~

それでは解答例にいきます~ turu.gif





ll2.jpg
ll3.jpg






   
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