誤答から学ぼうシリーズ・分数関数の値域

どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです～

今回は分数関数の問題に関する誤答です～

問題：　関数　　の　ｘ≧４　における値域を求めよ。


それでは誤答を挙げます～




値域を求める問題はグラフを描いて考えるというのが一番ベタなアプローチかと思うのですが，
式変形でも処理できてしまったりします～
しかし，今回はその手法に不備があるようです～

具体的に言うと，　ｘ－２≧２　から両辺を　２（ｘ－２）　で割って　　として話を進めている辺りに
難点があります～

一般に，　０＜A＜B　であるとき，　　が成り立ちます。
いま，　　　　という不等式は，「２数の大小関係を表す不等式」としては正しいものですが
「　の値域を表す不等式」としては正しくありません。
実際は　　は０以下の値を取れないので，値域を表す不等式としては　
　が適当です～





式変形の過程で範囲を表す不等式から単に大小を表すだけの不等式に移り変わってしまったことに
気付かなかったことが今回の誤答の原因です～
つまり　ｘ≧４　との同値性が崩れてしまったのですが，この同値性が崩れないように式変形すると

「　ｘ≧４　」
⇔「　ｘ－２≧２　」
⇔「　ｘ－２＞０　かつ　　」
⇔「　　」

のようにすれば良かったのですね
とても注意深くやらないと間違えそうで怖いですね。
グラフを用いて考えるとこの辺のややこしい部分はかなりクリアーになるかと思います。

変形で押し通す場合は同値性に気をつけるということが今回の教訓と言えそうです～

それでは正答例に行きましょう～

グラフを用いた場合はこのように～




式変形中心にいけばこのように～