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誤答から学ぼうシリーズ・分数関数の値域

2016.07.15 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

今回は分数関数の問題に関する誤答です~

問題: 関数  の x≧4 における値域を求めよ。


それでは誤答を挙げます~

mm4.jpg


値域を求める問題はグラフを描いて考えるというのが一番ベタなアプローチかと思うのですが,
式変形でも処理できてしまったりします~
しかし,今回はその手法に不備があるようです~

具体的に言うと, x-2≧2 から両辺を 2(x-2) で割って  として話を進めている辺りに
難点があります~ bakeneko_20120809140145.gif

一般に, 0<A<B であるとき,  が成り立ちます。
いま,    という不等式は,「2数の大小関係を表す不等式」としては正しいものですが
 の値域を表す不等式」としては正しくありません。
実際は  は0以下の値を取れないので,値域を表す不等式としては 
 が適当です~ car2_tank.gif


mm6.jpg


式変形の過程で範囲を表す不等式から単に大小を表すだけの不等式に移り変わってしまったことに
気付かなかったこと
が今回の誤答の原因です~
つまり x≧4 との同値性が崩れてしまったのですが,この同値性が崩れないように式変形すると

「 x≧4 」
⇔「 x-2≧2 」
⇔「 x-2>0 かつ  」
⇔「  」

のようにすれば良かったのですね cat_1.gif
とても注意深くやらないと間違えそうで怖いですね。
グラフを用いて考えるとこの辺のややこしい部分はかなりクリアーになるかと思います。

変形で押し通す場合は同値性に気をつけるということが今回の教訓と言えそうです~

それでは正答例に行きましょう~

グラフを用いた場合はこのように~


mm7.jpg

式変形中心にいけばこのように~ curry.gif


mm5.jpg






mm8.jpg





  
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