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誤答から学ぼうシリーズ・対数方程式・不等式

2016.07.16 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 27b503c4e00011e2ad9722000a9e2977_7

今回は対数方程式・不等式に関する誤答を挙げます~


問題: 不等式  を解け。


それでは誤答例を挙げます~


mm9.jpg



対数方程式・不等式に関して非常に多い間違いは真数>0の条件を見落としてしまうということだと思います~
今回の誤答例ではしっかりと真数の条件には触れていたのですが,残念ながらそのタイミングがマズかったです。
触れりゃいいってもんでもないようです~ eto_uma.gif

はじめの形  について,この不等式が成り立つための
1つの必要条件として「真数>0」すなわち「 x-1>0 かつ x+3>0」⇔「 x>1 」が得られます。
ところが,式変形を一段階進めて  について
「真数>0」を考えると,「  」から「 -3<x<1,1<x 」が出てきてしまい,
先ほどの「x>1」とは一致しません。
この食い違いが誤答を生んでいます。なぜこのような不一致が生じてしまったのでしょうか。


例えば,  は  と変形できます。
この意味では  ……
は正しいのですが,一方で  からスタートして,   に変形するのは正しくありません。
 ……
とするのはダメなのです。これは, x-1>0 である保証がないからで,
正しくは  としなければいけません~ kaeru_yodare1.gif

A=B ならば B=A なんだからも成り立たなきゃダメなんじゃないのか,というのも分かるのですが
それぞれがどういう前提のもとに行われた式変形なのかというのがすごく重要です~
は  からスタートしているので x-1>0 という前提が敷かれています。
この条件下でが成り立っています。
一方で,先に  が与えられていると, x-1≠0 という前提のもとで式変形するので
という変形はダメなんです。
よって, 「 x-1>0 かつ 」 ⇔ 「 x-1>0 かつ 」 とすれば同値性が維持できます。

今回の例題では,
「  が成り立つ」 ⇒ 「  が成り立つ」
は正しいですが,逆は成り立ちません。
同値性を維持するには,
「  が成り立つ」 
⇔ 「 x-1>0 かつ x+3>0 かつ  が成り立つ」

のように考えなくてはならないのですね。

このようなことから, 「不等式  を解け。」 という問題と
「不等式  を解け。」 という問題は,もう別の問題なんだという認識を
持たなければならないわけです。
真数>0 の条件を考えるタイミングも一歩誤ると全然違う答えが出てきてしまうという怖さがあります。

それでは正答を挙げます~ m_0006.gif



mm10.jpg
mm11.jpg
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