プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

誤答から学ぼうシリーズ・陰関数表示と曲線の概形

2016.07.18 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini

今回は陰関数表示に関する誤答です~

問題: 曲線  の概形を調べよ。ただし,凹凸は調べなくてよい。

それでは誤答例です~

ll6.jpg



y=f(x) の形(陽関数表示)ではなく f(x,y)=0 の形(陰関数表示)で曲線の方程式が与えられています~
陰関数の微分法から  が得られるので活用していこうとしている解答例だったわけですが,
この x と y が混在している導関数の形というのは,接線の方程式を求めるくらいの活用には便利なんですが
増減表を書いて曲線の概形を調べようという作業には必ずしも便利ではなかったりします dog_shy.gif
極値を与える点を調べるくらいならまだいいのですがそれ以外の点での符号とかはなかなか調べにくいです。
上の誤答例では丁寧に調べず,極限と  における y の値から辻褄の合うように  の符号を
決めて逃げてしまっています。
また,そもそも x と y が1対1に対応しないことが多く,陽関数表示に直していこうとすると,複数の関数に分割して
考えなければいけなくなることもあります。今回の誤答例では勝手に x と y が1対1に対応すると決めてかかってる
辺りもまたいい加減です。実は今回の曲線は x と y が1対1に対応しません~ eto_tatsu.gif
そして,陰関数表示は x→±∞ などにおける極限を調べにくいことがあるというのも難点です。
上の誤答例の中でもかなり苦心して極限を求めています。

円,楕円,放物線,双曲線のような2次曲線や,  のように簡単に陽関数表示に直せるような曲線
くらいなら良いのですが,今回の問題のように簡単に陽関数表示に直せず,なおかつ x と y が1対1に対応しない
ものは非常に厄介です。


今回の曲線は果たして1つの x にいくつの y の値が対応するでしょうか。
それを調べるのも一苦労です。やってみましょう~
曲線と直線 x=a の共有点の個数を求めれば良いので, y に関する3次方程式 
の実数解の個数を調べる問題に帰着できます。
これは数2の微分の問題の範疇ですね。

yz平面上の曲線  と y 軸の共有点の個数を a の値の範囲で場合分けして求めていきます~ kuma_fly.gif



ll7.jpg
ll8.jpg



このように,1つの x に最大で3個の y の値が対応します。
ということは,陽関数表示に直して考えようとすると  では3つの関数に
分割して考えなければいけないことになります。面倒ですね!

そこで出てくる打開策がパラメータ表示への移行です~~ kudan.gif
陽関数表示が難しいタイプではこの作戦が有効作用します。
とはいえ,そのパラメータ表示をどうやって与えるんだという問題が立ちはだかります。
入試問題とかであるならば多くの場合,そのヒントが問題文の中に小問として与えられるでしょうからまぁ安心です。
今回の例だと,

「 t を t≠-1 を満たす実数とする。この曲線と直線 y=tx は原点以外にただ1個の共有点を持つことを示し,
その共有点の座標を t を用いて表わせ。」

のような感じとかでしょうか~
そのようなヒントがなかったら,いよいよ自分で苦心しなければいけません。
名前の付いている有名曲線の場合は,パラメータ表示の形などの諸理論も大体知られていますが,
あれもこれも全部把握していて流暢に使いこなせるという境地に達するのは大変ですよね。
なお,実は今回の曲線はデカルトの正葉線という有名曲線です~ korobo.gif

さて,上のヒントにあるように  をパラメータに取ることでパラメータ表示を与えることが出来ます。
 という変換は色々な場面でよく使うものなので,何とか「絶対思いつかない」という部類のものからは
外れるかな~という感じではあるのですが,初見だと苦労しそうです~~

そして,パラメータ表示が出来たとしてもその後がまたしんどい~
増減を調べるのが大変なんですよね。
増減表が何段にもなったりして,たとえやり方を知っていても地味に時間がかかるというのが
この手の作業の嫌なところです~~~

あと,グラフの描画には対称性も意識すると良いです。
今回は  という式は x と y を入れ替えても変わらないため
直線 y=x に関して対称だったりします。

 

それではここで,今までのことを踏まえた上での誤答例その2を挙げたいと思います~~




ll9.jpg
ll10.jpg
ll11.jpg





苦労の甲斐もあって,無難に曲線の概形が描けたように見えますが,若干よろしくない部分があります。
実は,この曲線は直線 y=-x-1 を漸近線に持つのです~ kitune.gif
陰関数表示は漸近線を見つけにくいという難点も持ち合わせているんですね。

y=f(x) のグラフが y=px+q を漸近線に持つとしたら,そのことは  
が成り立つことを確かめることで見て取れたりします。

で求めるというのもよく知られた手法です。

パラメータ表示された曲線の場合はどのように対処したら良いのでしょう。



なので,曲線の接線の傾きは t→-1±0 のとき -1 に近づいていきます。
このことから, y=-x+q 型の漸近線を持つ可能性があります。この時点ではあくまで可能性です。
確実にそのような漸近線がある保証はありません。
曲線上の点  と直線 x+y-q=0 との距離 d は



と表せます。  t→-1±0 のときに d→0 となるのは q=-1 のときです。
このことから y=-x-1 が漸近線であることが分かります~ m_0054.gif

このようなパラメータ表示された曲線の漸近線についてはWikipedia辺りでも参考にしてもらうことにして,
正答例にいきたいと思います~

漸近線については他にも注意すべき点があるのですが,それはまた機会を改めることにします~

下の例では今挙げた方法とは違う方法で漸近線を求めてみています~




増減表までは誤答例2までと同じなので,その続きから挙げます~


ll12.jpg
ll13.jpg








              ll14.jpg
















   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。