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誤答から学ぼうシリーズ・立方体の面の塗り分け

2016.07.19 23:23|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

今回は場合の数から,立体の面の塗り分け問題についての誤答を挙げます~

問題: (1) 立方体の各面を赤,青,緑,黒,白,黄の6色のペンキを使って塗り分けしたい。ただし,どの面も1色のみで塗り,またすべての色を用いるものとする。このとき,塗り分けの仕方は全部で何通りあるか。
(2) 立方体の各面を赤,青,緑,黒,白の5色のペンキを使って塗り分けしたい。ただし,どの面も1色のみで塗り,またすべての色を用いるものとする。このとき,塗り分けの仕方は全部で何通りあるか。



それでは誤答を挙げます~

nn1.jpg




立体の塗り分け問題はよく見かけますね。
見た目は円ではないのですが,円順列や数珠順列の考え方が適用できます。
円順列の習いたてでこのような問題に当たると「??」ってなってしまう生徒が多いようです。
円に見えないものに円順列の考え方を当てはめるという部分の抽象さ加減が難しいのだと思います~ car2_truck.gif

今回,誤答であるのは(2)で,(1)は正しいです~
まずその正しい(1)について触れておきます。面の数と色の数が一致するので,
どの面も違う色が塗られていることになります。
ただ,立体というのは好き勝手に向きを変えられるというのが厄介です。
一旦,上面に赤を塗ったとしましょう。これをちょっと向きを変えてみると赤が側面になってしまったり
底面になってしまったりします。
ぱっと見で別々の塗り方をしているようでも向きを変えてみたら実は同じだった! cat_6.gif
…のような事態がよく起こるので,重複カウントのミスに気を付けなければならないというのが最大のポイントです。

どうせいずれかの面は赤を塗るんだから,赤を塗った面を上面に固定してしまおうと言うのが上手いアイデアです。
あとは対面の色の選び方(5通り)と側面の塗り方を考えればよいわけです。
側面に当たる4面については真上から見れば円状に並んでいるのだからこれは円順列じゃないか~
ということで円順列の考えが適用できるわけですね。


問題は(2)です~
5色で塗るのだから,6面のうち2面は同じ色が塗られることになります。
どの色を2面に塗るかの選択が5通りあることは問題ないと思うのですが,そこから先がややこしいです。
まず,同じ色を塗った2面が隣り合うものについて考えます。
誤答例ではその2面のうち一方を上面に固定して考えています。更にもう一方を一番手前の面に固定したとします。
このとき,底面の色の選択と,左側面,右側面の色を決めたら奥側面は自動的に1通りに決まる
という発想で場合の数を出しています。

しかしながら,このとき注意しなければいけないことがあります。
同じ色の面のうち一方を上面にしたわけですが,もう一方の側が上面に,そして元の上面が手前側面に来るように
向きを変えてみると,上面と手前側面が同じ色であるという条件を保ったまま,
底面・左側面・右側面・奥側面がさっきとは別の配色になってしまいます。
この配色パターンは向きを変える前のものとは別物としてカウントされています。
つまり重複が起きているのですね。

下の2つのパターンは一見別物のように見えますが実は同じパターンです eto_uma.gif
これはややこしいですね。重複が起きないようにカウントしたいです。

nn2.jpg


同じ面を塗る2面はともに側面にあるものとしましょう。この同じ色をSとします。
上面と底面に塗る2色A,Bの選び方を決めると,側面は残りの2色C,Dを塗る面とSを塗る2面で構成されています。
Aを上面としたときに側面が時計回りにSSCDと並んでいるものとDCSSと並んでいるものがあります。
ひっくり返すとBが上面になるので,Bが上面のものを新たに別カウントする必要はないです。
こうして,側面は同じものを含む円順列として捉えることが出来ます hiyo_ang2.gif

先に側面を同じものを含む数珠順列として捉えることもできます。
その場合はA,B部分は1通りになりますね。


nn5.jpg








同じ色を塗る面が隣り合わない場合についても同様です~
上面と底面が同じ色だというようにしておくと,
下の2つは上面と底面をひっくり返すと同じになってしまいますね。


nn3.jpg


そこで側面のA,B,C,Dは円順列ではなく数珠順列として捉えます~ kojika.gif


nn6.jpg





それでは正答にいってみましょう~~



nn4.jpg







  
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