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誤答から学ぼうシリーズ・連立漸化式

2016.07.20 23:29|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

今回は連立型の漸化式に関する誤答を扱います~

問題:  n≧1 において,次の関係式で定義される数列   を考える:

(1) 数列  が公比 r の等比数列になるような実数 k, r の組 (k,r) をすべて求めよ。
(2) 一般項  を求めよ。




今回は2つの誤答例を挙げます~
まずは1つ目です~


nn7.jpg

  nn8.jpg

nn9.jpg



続いて2つ目です~
(2)は1つ目と同様なので省略です。



nn10.jpg
nn11.jpg

   nn8.jpg



連立型の漸化式の解法パターンはいくつかあります。
1つは,今回の問題のように数列  が等比数列になるような k を
見つけていくような手法です dog_shy.gif
ほかに一方の数列を消去してもう一方に関する隣接3項間漸化式に帰着させる方法や,行列を用いた解法などがあります。

さて,今回の手法ですが,単に漸化式を解くというだけであれば,すべての (k,r) の組を求める必要はなく,
1個か2個あれば十分に事足ります~
つまりどういうやり方でもいいからとりあえず1,2個の (k,r) の組を見付けられればそれでいいわけです。
しかしここではすべての組を挙げてくれという要求がされているので,必要十分性を意識した上で
議論をしていかなければいけません。
そのため,普段通りのノリで解き進めようとすると誤ってしまう可能性が出てきます~
今回の誤答はまさにそういう失敗を犯しています~

まず1つ目の誤答では,途中で係数比較をしている箇所がありますね。
果たしてこの操作は正当性のあるものでしょうか。一般化して考えてみましょう~
 
が任意の n について成り立っているときに, A=C かつ B=D ということは言えるのでしょうか。この問題は,

が任意の n について成り立っているときに, A=B=0 と言えるかというものと同等ですね hamster_2.gif
そこでこの言い換えた方の問題について考えたいのですが,実は必ずしも A=B=0 とは言えません。
例えばもし A≠0 だったとしても,  という関係式を満たしていたら, 
が任意の n について成り立ってしまいます。
したがって,無条件に A=B=0 と立式してしまうのは誤りであると言えます。
もちろん,試しに A=B=0 とおいてみる分にはそれは構いません。ただし,それは必要性を欠いた
あくまで十分性の議論であることを見落としてはいけません。

では A=B=0 として良いのはどんなときなのでしょう。
任意の n について  が成り立っているのだから,

がすべての自然数の組 (p,q) に対して成り立ちます。つまり,



が成り立ちます。 



となるような (p,q) が1組でも存在すれば, A=B=0 が得られてしまいますね。
そのような (p,q) が1組も存在しないとしたら,ベクトルの列  
の中に「1次独立な2個」は存在せず,したがって xy 平面上の点列 
はすべて原点を通るある直線上にあり,  となる実数 α,β が存在します。
このような事情から,今回の例題のように  のような一般項を持つ場合には
 は正しくありません~
そのような一般項を持つかどうかなんて問題を解き始めてすぐには分からないと思うので,
係数比較を用いるのはやめて, n=1,2 などとしてみて k,r に関する必要条件を求めて
十分性の確認を入れていくといったあたりが妥当な対応かと思います。
あるいは上の誤答例のように先に1,2個の (k,r) を求めて,そのまま2つの数列の一般項を求めてしまってから
(1)の結論を考えるというのもありですかね~

誤答例2の方も,十分条件を求めただけの計算になっています。



が成り立っていれば等比数列,というのは正しいですが,「それが成り立つときに限り等比数列」は誤りです。
それに 4+6k=0 のときの議論がスルーされているという問題もありますね。
単に漸化式を解くだけであればこの計算で k を出しちゃうのが早いのですが今回は適切ではありません。

それでは正答例にいきましょう~ kaeru_en2.gif
必要条件から攻めていってみます~


nn12.jpg
nn13.jpg
nn14.jpg


 に最初から着目していくともっと簡潔になります~

nn17.jpg


nn14.jpg




しかしながら,今の例題は答えがやや特殊な形をしていたので, (k,r) が2組しか出てこない
シンプルな例も挙げておきます~ m_0049.gif



問題:   n≧1 において,次の関係式で定義される数列   を考える:  

(1) 数列  が公比 r の等比数列になるような実数 k, r の組 (k,r) をすべて求めよ。
(2) 一般項  を求めよ。





正答にいきます~



nn15.jpg
nn16.jpg



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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

教科書の解法を淡々と真似ているだけじゃ気づきにくい点ですね、勉強になりました。

No title

コメントありがとうございます~

そんなの当たり前,て思ってて気にも留めなかったような事柄とかに思わぬ落とし穴が!
みたいなのってしばしばありますね。
自分自身記事を作ってて勉強になって助かったりしてます~
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