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誤答から学ぼうシリーズ・極限の計算規則

2016.07.21 22:24|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 算数mini

今回は極限計算に関する誤答を挙げます~
誤答というよりかは注意不足・説明不足と言ったほうがいいのかもしれません~


問題:  を計算せよ。




それでは誤答例を挙げます~~

nn18.jpg


今回の誤答例は一体何がマズかったのかと言うと,計算途中で  の部分だけ先に極限をとって
1に置き換えてしまっているところが問題ありなのです~

このような,一部分だけ先に極限をとってしまうという操作は果たしてやっても良いのでしょうか bakezouri.gif
 ( α は実数) が成り立つときに,



として良いのかという問題ですね~

まず非常に重要なことは,両辺の極限が存在することが分かっているのかどうなのか,ということです dog_right.gif
分かっていないのなら不用意な変形は出来ません。
もしも極限が存在しないのだとしたら,存在しないものに対して等しいだの等しくないだのということを考えること自体が
そもそもナンセンスな気がしますね。
また,もしも2つの極限  ( α,β は実数) が存在するとしたら,
 が成り立ち,また
  より,



が成り立つことが言えます。
上の計算では,  ( A,B は実数) が成り立つならば
 が成り立つ,という計算規則を用いています。
高校数学の範囲ではこのような計算規則はやむを得ず証明なしで認めてしまうスタイルを取りますが,
こうしたことが極限の取り扱いのやって良いこと悪いことを把握しづらい原因の1つになっているのかもしれませんね。

 ( α は実数) である場合はどうでしょう。



なので,どちらも正の無限大に発散するという意味では等しいものになっていますね。
負の無限大側で考えても同様です。

これらのことは決して自明ではないので,誤答例のように何のことわりもなく用いるのはよくありません。
lim 記号の中身だけを等式変形するような変形と,
元のものと全く別の極限を持ち出してきて元のものと等しいと言う変形ではギャップがあります。
後者については物凄く慎重に行わなければいけません~ m_0245.gif

今回の誤答では3行目から4行目にかけて全く別物の極限に移行してしまいました。
3行目の極限が存在するのかどうか分かってもいないのに別物の極限に移行してはいけませんね。
そこで,ここではlim 記号の中身だけを等式変形するような変形で計算を押し進めて
最終的に全体のかたまりごと極限をとるというのが自然です~ m_0249.gif



それでは解答にいきます~~




nn19.jpg

 






  
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