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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(B) その4

2012.10.09 22:49|高校入試問題
どもども。


今回も今年の宮城県公立高校入試の数学,選択問題Bの第5問3をやっていきます~算数mini


問題はこちら~
mon5b3.jpg

q1.jpg


mon5b4.jpg

q2.jpg


mon5b5.jpg


前々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-31.html

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-32.html


前回は(2)(イ)について幾つか解法を挙げていました~
今回はその続きです~
まずは前回の記事を参考にしてください


四角形AGECの面積を求める問題でしたが,
この四角形は正方形,長方形,平行四辺形,台形,ひし形のような
わかりやすい面積公式のあるタイプのものではないので,
いくつかの図形に分割して,面積の足し引きをして答えを求めなければいけませんでしたkatorisenko02.gif


一番分かりやすい,対角線を用いて2つの三角形に分割する解法について
前回やったんでしたね~
今回はもうちょっと他の分割方法で解いてみたらどうなるだろうか
ということをやっていきますhaibisukasu02.gif



q6.jpg




△AMC+四角形MGEC として求める

対角線ではなく線分CMを境界として
△AMCと四角形MGECに分割してみます。

△AMCはCMを底辺とすればALが高さになるので
面積を求めるための道のりは分かりやすそうです。

四角形MGECはどうでしょうか。
MC//GEなので,この四角形は台形です。
よって台形の面積公式を使えば面積が求められますねosake02.gif

ところで,前回証明したんですが△FMH≡△EGHなんです。
合同な三角形は当然,面積も等しいです。
四角形MGEC=四角形MHEC+△EGH
=四角形MHEC+△FMH=△CEF

が実は成り立ちます

ということで2つの三角形の面積を求めて足せば,
答えが求められます~
この方法でやってみましょうusagi02.gif


過程は前回の解法と重複する部分は省きます 


r6.jpg



四角形ADEC-△ADG として求める

2つの図形を足すのではなくて,引くパターンもやってみますmushi.gif
四角形ADECから△ADGを引くと,
残りがちょうど四角形AGECになりますね!

四角形ADECの面積はどうやって求めましょう。
AD//CE,∠DAC=∠ADE=60°より
四角形ADECは等脚台形でした。
したがって台形の面積公式が使えますね。

r11.jpg
r12.jpg

△ADQ-△CEQとして考えれば2つの正三角形の面積の差として求められますcar-usa.gif

r13.jpg


また,△ABCと四角形BDECに分割してみる手もありますaomushi02.gif
△ABCは正三角形,
四角形BDECは平行四辺形ですので
この方法でも面積が求められそうですね。


r7.jpg



△AGQ-△CEQ として求める


今度は△AGQから正三角形である△CEQを引いて
答えを求めてみます~aicon_bbs18.gif

r18.jpg




△AEC+△AEF-△AFM として考える

次はちょっと複雑な組み合わせを考えてみましょう~
四角形AGEC
=△AEC+△AEF-△AFM-△FMH+△EGH
と書けますが,上で述べたように
△FMH≡△EGHでしたので,上の式では
-△FMH+△EGHの部分は相殺されます。
つまり,△AEC+△AEF-△AFM で答えが求められますwin_snowman.gif


r8.jpg




面積比を利用してみる

次は原点に帰って対角線での分割を考えて
△AGC+△GECで考えてみます。
面積比と線分比の関係を使って,△AGC:△GECを求めます。
それがわかると,一方の△GECの面積を求めれば
もう一方の△AGCの面積も分かりますよね
そんなことを今度はやってみたいと思います~


そこで次の便利な性質を利用しますspaghetti.gif

r14.jpg

上図のような四角形ABCDがあると,
AE:ECがそのまま面積比△ABD:△CBDに一致してしまうという性質です。
相似を使って簡単に証明が可能ですよ~

r15.jpg

その関係を今の問題に応用してみましょう!
四角形AGECに対角線AEとCGを引いて交点をRとします。
△AGC:△GEC=AR:RE
になります~ この線分比を求めて利用してみますs2_sum_sunflower.gif


r16.jpg



△AGE:△ACE=GR:CRに着目してみた場合はこんな感じになります

r17.jpg



面積比を活用した解法は他にもまだ考えられますが,
なんだか長くなってきたのでそろそろおしまいにします

これで今年の宮城県の入試問題は全てやっつけたことになりますね~
お疲れ様でした~~dog_love.gif





            
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テーマ:算数・数学
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タグ:宮城県 公立高校入試 数学 選択問題 B問題 相似 正三角形 平行四辺形

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