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誤答から学ぼうシリーズ・微分積分と不等式

2016.07.22 22:22|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini

今回は微分・積分と関連した不等式の証明問題に関する誤答を見てみます~


問題: (1) x≧0 のとき,不等式  が成り立つことを示せ。
(2) n を自然数とする。 n 次多項式 f(x), g(x) について 0≦x≦1 において常に f(x)<g(x) が成り立つとき,
不等式  が 0≦x≦1 において成り立つことを示せ。
ただし,関数 F(x) と自然数 k に対し,  は F(x) の第 k 次導関数を表すものとし,
また  であるものとする。




それでは誤答例を挙げます~~


nn20.jpg



まず(1)について見てみましょう~
F(x)=x-sin x とおいて, x≧0 において F(x)≧0 が成り立つことを微分を利用して示す,
という方針がベタなところですが,上の誤答例のように定積分を利用して示そうという方針も考えられます~
一般に, a≦x≦b において定積分が計算できる2つの関数 f(x),g(x) が, a≦x≦b において常に
f(x)≦g(x) を満たすとき,不等式 



が成り立ちます~ suika.gif
つまり f(x)≦g(x) の両辺を積分しても大丈夫なわけですね。
関数 y=g(x)-f(x) は a≦x≦b において常に y≧0 を満たすので, y=g(x)-f(x) のグラフと
直線 x=a, x=b, および x 軸で囲まれる図形の面積は0以上になります。

nn21.jpg


よって, 

 

が成り立つことから上の不等式が得られます。
注意しなければならないのは,この不等式の等号成立条件は定積分が表す図形の面積が0になるということであり,
a=b が成り立つとか, f(x)=g(x) が常に成り立つとか等の状況でなければいけません。
決して f(x)≦g(x) の等号成立条件と同一ではないということを意識しなければいけません mikan01.gif
上の誤答例について,(1)の部分でマズかったのはこの点です。
まぁどう考えても n≠0 であるような x=2nπ において x=sin x は成り立たないですよね。
実際の等号成立条件は x=0 です~

なお,逆の命題,すなわち



が成り立つならば a≦x≦b において f(x)≦g(x) が成り立つ,というのは偽なので気をつけてくださいね。


一方の(2)ですが,今度は不等式の両辺を微分する方針をとっています。
a≦x≦b において微分可能な2つの関数 f(x),g(x) に対し,この範囲で常に f(x)<g(x) が成り立っていたとしても,
両辺を微分して得られる不等式  は成り立つ保証はありません
定積分はOKだったけど微分はダメなんですね katorisenko02.gif

これはちょっと考えて見ればすぐ分かることです~
a≦c≦b とするとき,  は y=f(x) のグラフの x=c における接線の傾きです。同様に, 
 は y=g(x) のグラフの x=c における接線の傾きです。
この2つの傾きの大小は f(c)<g(c) という大小関係とは無関係ですよね heart18.gif


nn22.jpg



したがって,誤答例のような解法は全くの見当外れになってしまいます~
実は証明すべきだった不等式の左辺は f(x) と等しく,右辺は g(x) と等しくなっています。
このため, f(x)<g(x) が成り立つなら当然証明すべき不等式も成り立っているのです。
そういう流れで解答すればよかったのですね~


それでは正答例にいきます~  heart09.gif




    nn24.jpg
nn23.jpg
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