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誤答から学ぼうシリーズ・複素数と指数法則

2016.07.29 16:19|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

今回は指数法則に関する誤答を挙げます~


問題:  の解のうち実数ではないものの1つをωとおく。このとき,非負整数 n に対して  の値を求めよ。


それでは誤答例を挙げます~

oo1.jpg



1の3乗根のうち,実数でないものの1つをωとおいたときに様々なωの式の値を求めるという問題がよくあります~
 より  を得ますが,ωが実数ではないことから ω≠1 なので
 が成り立ちます。これを解くことで,



となります。 i は虚数単位です。複号部分について+側の方をωとしても-側の方をωとしても
1の3乗根の全体は  になっています。
また,この手の問題で問われてるようなωの式の値は,ωの値を上記の2個のうちどちらを選んでも同じ結果になるように
出来ていることが殆どです。
実際にωの値を代入して答えを求めることも勿論可能ですが,  と   の2つの関係式を
駆使してパズルを解くように計算していくのがスタンダードな手法になっています~

さて,それはそれとして今回の誤答で犯してしまったヤバイことは何かというと,指数法則の扱いです。
x,y を実数とするとき,  というおなじみの公式がありますね。
上の誤答例の中でも用いられています~
でもこの公式には「 a>0 のとき」という枕詞が付いていたのは覚えているでしょうか~
これは a を複素数全般としてしまうと煩わしい現象が起こってしまうのでそれを回避する目的があります。
例えば,



ω≠1 だったはずなのでこれは不合理です~
このように,複素数全般に対しては  はもはや正しくありません~
ただし, a≠0 (虚数も可)のとき整数 m,n に対して  が成り立つというのは正しいです。
 a が実数のときの証明と同じように導出ができます~
指数が一般の有理数や無理数や虚数になると上記の例のように困った現象が起きるわけです。
高校ではそもそも虚数乗というものは扱いませんが,一般の実数まで指数は拡張しています。
ただし,底は正の数という縛りが設けられていることに注意です。
有理数乗に着目すると, p を自然数, q を整数, a>0 とするとき 
と定義していました。 a=0 のときは負ベキを考えることが出来ないために除かれてるのだとは思いますが,
正ベキなら定義できそうですね(ただし教科書には書いてなかったりする)。
負の実数に対してはやはり煩わしい現象が起きます。例えば次のようなものなどがあります。

oo2.jpg


虚数まで持ち出すことなく奇怪な現象が起きてしまうんですね

このような奇怪な現象が起きる理由の1つは複素数の累乗は基本的に多価だからです。
通常,1つの x に1つの y が対応するときに y は x の関数であるというわけですが,
1つの x に複数の y が対応してしまうものを多価関数といいます。
,  などの関数は実は多価関数です。
これは対数関数  が多価であることに端を発してます。
複素数  は,オイラーの公式(高校範囲外)や
指数関数の周期性(本当は指数関数の定義からやらなきゃダメだけど)から
  ( n は整数) という表示を持つため,
 ( n は整数) と定義されます。 n の取り方は無数にあります。
このとき,複素数 a に対して,  によって a 乗が定義されるのですが,対数の多価性から 
a 乗も多価になってしまうというわけです。まぁ,かなり雑な説明ですが。とても数行で語りきれる内容ではありません~
多価関数は複数の値を取れるため,具体的にどの値を使うかということをあらかじめ明示する必要がありなかなか面倒です。
複素数としての累乗ではなく通常通りの正の実数の累乗に限定して考えているうちは値が一意に定まるため平和ですね。

当たり前のように思っていた指数法則が複素数範囲では当たり前じゃなくなるぞ,成り立たなくなったりするぞ,
という認識があればとりあえずは大丈夫で,あとは後でじっくり理詰めしていけば良いことだと思います。
煩わしい現象の例などは「指数法則の不成立」あたりとか参照してみてください~



元の問題に戻りましょう~
間違った指数法則の使い方をしないように解いていかなければいけません。
式の値は n=0 のとき2, n=1 のとき-1, n=2 のとき-1,
n=3 のとき2, n=4 のとき-1, n=5 のとき-1,……
どうやら n が3の倍数のときは2,それ以外では-1になる予感がします。
帰納法で示しても構いませんが, n=3k,3k+1,3k+2 ( k は非負整数) とおいて
直接計算するのが早そうです

それでは正答例にいきます~



oo3.jpg
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