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誤答から学ぼうシリーズ・y=x^3の逆関数

2016.07.30 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


今回は前回の話の関連で累乗根の取り扱いに関する誤答を扱います~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189
完全なる誤答ではなく適切な内容を補えば正しくはなるのですが~という中身になっています~


問題: 実数全体で定義された関数  の逆関数を求めよ。



それでは誤答例を挙げます~


oo4.jpg


問題も解答もシンプルですね。

一見正しそうなこの解答,何がマズいのでしょうか。
x≧0 の範囲においては確かに正しいんです。
では x<0 の範囲ではどうでしょうか。
前回の内容を思い出しましょう~



によって1/3乗が定義されるわけですが,そこには「 x>0 のとき」という仮定があったのでした cutlet.gif
x<0 まで含めてしまうと指数法則の不成立などの煩わしい現象が起こってしまうため,高校数学では立ち入らないのです。
x=0 はギリギリ含めてもいいのかもしれませんが指数法則を使って  のような変形はできません。
負の実数を含めた一般の複素数の累乗は複素数値多価関数として定義されます。
整数乗だけは普通に高校のうちから扱いますけどね。

なお,  は「 x の3乗根のうち実数であるもの」という定義で導入されているので
x<0 の場合にも適用できます。複素多価関数として捉えることも可能ですが現時点ではそれをしません。

任意の実数に対して  として定義して,
 の定義域を実数全体に拡張することは可能ですが,その場限りのローカルルールになります。
そのルールのもとで記述したいのならばその旨をちゃんと明記しておかなければいけません dog_angry.gif
教科書には「任意の実数に対して  と定義する」とは書いてないはずです。
今回の例題もあくまで「 x<0 ではまだ1/3乗が定義されてない」状態で出題がされているというのが自然な立場です。
ところが,このことを意識せずに普通に   の逆関数は   と書いてある参考書も
巷には存在しています。説明なしに書いているのなら厳密には誤りです。
この手の厳密には良くない表現というのが探してみると複数箇所で見られます。



曲線  を θ を用いず表すと 


などですかね。
 の細かい違いをちゃんと意識して使い分けてる受験生は少ない気がしますが,
そういうところまで気を遣って教科書が読めるととても素敵だと思います~


それでは正答例です~ kuma_fly.gif



oo5.jpg


1/3乗を使って書きたいならこうです~

oo6_20160730124752d65.jpg




  
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