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誤答から学ぼうシリーズ・放物線と円の共有点の個数

2016.07.31 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 27b503c4e00011e2ad9722000a9e2977_7


今回は2つのグラフの共有点の個数を調べる問題に関する誤答を見てみます~


問題: k を実数とする。放物線  と円  の共有点の個数を調べよ。

それでは誤答例です~

oo7.jpg


k の値によって共有点の個数が変化するため, k の範囲を区切って答えていくという定番問題です。
放物線と直線,円と直線,楕円と直線,双曲線と直線などの組合せの場合,
共有点の個数と1文字消去してできる2次方程式の実数解の個数が一致することに着目して,
判別式の符号を考察するという手法がよく用いられます。
判別式をDとおくと, D>0 ならば共有点2個, D=0 ならば共有点1個, D<0 ならば共有点0個
という風に結論づけますよね。
ところが,円と放物線のような組合せになると判別式の符号だけでは問題が解決しなくなってしまいます~
「2曲線の共有点の個数」と「2次方程式の実数解の個数」が一致しないことがあるからです dog_happy.gif
今回の誤答はそれを見落としていたことが失敗の原因です~

放物線  は軸がy軸と一致していて,点 (0,k) を通り下に凸です。
円  は原点を中心とする半径1の円です。
k が十分小さいと円と放物線は共有点を持たないことはイメージが湧くと思います。
その状態からだんだん k を大きくしていってみましょう。
つまり放物線をだんだん上に押し上げていくようなイメージです m_0194.gif
ある瞬間で放物線と円が2点で接し,その後交点が4個になり,その次に放物線の頂点の位置で円と接するときに
共有点が3個になり,その次は共有点が2個,そして再び放物線の頂点の位置で円と接するときに共有点が1個になり,
その後は0個になります。

oo11.jpg
oo12.jpg



共有点の個数が0個から4個まで目まぐるしく移り変わっていきます。
判別式の符号が正でも負でも0でも共有点4個という結論は普段なら出てこないので,
確かに判別式の符号でジャッジしようというのは無理があるようです。

また注意したいのが,円と放物線が接しているときです。
 の3回ありますね。  のときは判別式が0になっていますが,
k=±1 のときは判別式の符号は正です。
つまり, 「接する⇔D=0」 の関係も崩れているんですね~ panda_2.gif
「円と放物線が接するときの k を求めよ」のような問題では要注意です~

では正しい答えを得るにはどうやって考えていけばいいのでしょうか~
上のイメージのように共有点の個数の変遷を捉えてあとはその境目の数字を計算で出していく,
そういう手もあるでしょう。
ここでは誤答例と同じく y の2次方程式  に着目して,
「この2次方程式の実数解」と「2曲線の共有点」がどのように対応するかを調べて解答に繋げていきたいと思います~ tankoro.gif
円上の点は常に -1≦y≦1 を満たすため,この範囲にある実数解のみを見なくてはいけません。
また,1つの実数解につき幾つの共有点が対応するかも y の値次第で異なります。
y=±1 のときは1個, -1<y<1 のときは2個です。
2次方程式の実数解の個数はyz平面上の放物線  と直線 z=k の共有点の個数として
捉えることが出来ます。

それでは正答例にいきます~ tanuki.gif





oo8.jpg
oo9.jpg
oo10.jpg













   
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