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誤答から学ぼうシリーズ・相加平均と相乗平均の関係 その1

2016.08.01 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は定番の相加平均と相乗平均の関係の話です~



問題: 関数   (x>0) の最小値を求めよ。


誤答例です~~


oo13.jpg


今回は相加平均と相乗平均の関係の取り扱いでのベタな誤答ですね。
何を今更感がありますがせっかくなので取り上げておきましょう~
相加平均と相乗平均の関係は非常に便利なのものですが,その運用には注意が必要です。
まず,0以上の値を持つ数どうしに適用されるということです。
(注:0以下の値を持つどうしにも応用できます)
そして,等号成立条件には細心の注意を払わなければならないこと。
今回の誤答はこれを見落としています~ syumai.gif

誤答例の中では y≧8 という結論が導かれていますが,これは y の最小値が8であるということを
意味している不等式ではなくて,単に2数の大小関係を表しているだけの不等式です suika.gif
なぜなら等号成立条件を満たさないからです。実質的に y>8 を表しています。
大小関係のを表しているだけの不等式だったら, y≧8 だけでなく y≧7 も y≧1 も y≧-10000 も
正しいです。 「y≧A」 の形の関係式が得られたからといって A が最小値だとは即決できません。
 「y≧A」 かつ 「 y=A を満たすことがある」 ときに y の最小値は8だと決定できます~

今回, y≧8 という不等式の等号成立条件は  の2つの不等式で
同時に等号が成立することです。
前者の等号が成立するのは  が成り立つ x=1 のときですが,後者の方は  が
成り立つ x=2 のときで,前者と後者は両立し得ません。
異なる2箇所に相加平均と相乗平均の関係式を用いてから合体するのではなく,
はじめに式を展開してから相加平均と相乗平均の関係式を用いると1箇所のみに用いるだけで済むのでうまくいきます~ saboten.gif


それでは正答例にいきましょう~





oo14.jpg












 
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