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誤答から学ぼうシリーズ・相加平均と相乗平均の関係 その2

2016.08.02 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ

今回も相加平均と相乗平均の関係の運用に関する誤答を取り扱います~



問題: x>0, y>0, x+3y=4が成り立つとき, x と y の相乗平均  の最大値を求めよ。


それでは誤答例です~

oo15.jpg



前回とは違って等号成立条件にもちゃんと触れているのに何がマズいのでしょう。  



とおきます~
x>0, y>0 のときつねに f(x,y)≦g(x,y) という大小関係が成り立つということが
相加平均と相乗平均の関係式から分かります。
ただし,前回と同様でやはりこれは単に大小関係を表しているだけの不等式なんです。

等号成立条件「 x=y かつ x+3y=4 」から「 x=y=1 」が得られます。
このとき確かに f(x,y)=g(x,y) が成り立ちます。
しかしながら, f(x,y)=g(x,y)=1 であるということは f(x,y) の最大値が1であるということとは別です~ eto_ushi.gif

文字が2つあるとややこしいので x を消去して



とおいておきます~
ただし, x>0 より  です。
この範囲のもとで常に f(y)≦g(y) が成り立つことが相加平均と相乗平均の関係から言えます。
yz 平面において z=f(y), z=g(y) のグラフを考えると下の図のようになります~ hiyos.gif



oo17.jpg



確かに z=g(y) のグラフが z=f(y) のグラフより上にありますね。
相加平均と相乗平均の関係式が述べているのはこのことです。
そして y=1 のところで2つのグラフは接しています。
しかし, f(y) が最大になっているのは y=1 のところではなく,  のところになっています。
 のときは f(y)=g(y) ではなく f(y)<g(y) が成り立っています。

これらのことから分かるように, f(y)≦g(y) という関係式はあくまで1つの1つの各 y の値ごとに成り立っている
というだけに過ぎないのです。
f(1)≦g(1) は正しいですが「任意の y に対して f(y)≦g(1) 」は正しくありません。
誤答例の中で,  としている箇所がありますが,これは任意の x, y で成り立つのではなく
x=y=1 のときに成り立つ式なので,最大値が1だという結論には至らないわけです m_0027.gif


今回の問題では相加平均と相乗平均の関係式を用いたいなら次のようにします。



等号成立条件は x=3y かつ x+3y=4 より  です。
 のように右辺が定数になってさえしまえばいいわけです。

相加平均と相乗平均の関係式を用いなくても,2次関数の知識ですぐに解決します~
それでは正答例にいきましょう~



oo16.jpg








 
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

以前誤答例に似たミスをやらかしたことあります(汗)
相加相乗平均は便利だけど使った結果が何を示すかはきちんと考えないとですね、、

No title

コメントありがとうございます~


不等式の取り扱いって慎重にやらないとこういう類のミスやらかしますね~
上手に使いこなすとすごい威力を発揮してくれますが,
ちゃんと練習しておかないと持て余してしまいます~
非公開コメント

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