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誤答から学ぼうシリーズ・導関数の極限と有界性

2016.08.06 12:14|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini


今回は導関数の取り扱いに関する誤答を見てみます~



問題: x に関する方程式  が正の実数解を持たないような正の実数 k が存在することを示せ。


それでは誤答例を挙げます~


pp1.jpg




今回の誤答は一体何がマズいのかというと,それはズバリ 「 x>0 において単調増加かつ微分可能な f(x) について, 
 が成り立つならば f(x) は上に有界である」 という誤解をしていることです~ dog_happy.gif

なお, f(x) が x>0 において上に有界というのは,任意の正数 x に対して f(x)≦M を満たす定数 M が
存在することを言います~
つまり, f(x) がある数 M より大きい値を決して取らないということですね。

接線の傾きがだんだん0に近づいていくのだから誤答例で言っているように y=f(x) のグラフはだんだん
水平に近づいていくということ自体は正しいです。
しかし f(x) が上に有界とは限らないことは簡単な例からすぐ分かります~
例えば  の場合を考えると,これは x≧0 で定義された単調増加関数で,
 より  を満たしますが,  です。
上に有界ではありませんが,グラフは確かに水平に近づいてはいきますね kaeru_en4.gif

f(x) の極限の存在を仮定して,
 「 x>0 において単調増加かつ微分可能な f(x) について,有限な極限値  が存在し,
かつ  が成り立つならば f(x) は上に有界である」 

というのなら正しいです。ただ,この主張の場合は  の仮定はなくても大丈夫です。
常に f(x)≦M となってしまうからですね。

ということで,今回の誤答を修正するとすれば,  を示す代わりに f(x) の極限が有限値に
なることを確かめてみたら良かった,といえます~ m_0054.gif

では,
「 x>0 において単調増加かつ微分可能な f(x) について,有限な極限値  
が存在するときは  が成り立つ」

という主張は果たして正しいでしょうか?
上に有界なら必ず水平に近づいていくのか?という問題ですね。

一見正しそうですが,これは正しくありません。
反例を挙げてみましょう~


pp18.jpg



上のようにギザギザしたグラフを持つ関数 y=g(x) を考えます。ギザギザの幅はどんどん狭くなっていきます。
y=g(x) のグラフとx軸で囲まれた図形の面積,すなわち無数の三角形たちの面積の和が有限値に収束するように
調節しておいて  と定義すればこの f(x) は反例を与える関数になっています~
詳しく見てみましょう~ ny_ozouni.gif



pp19.jpg
pp20.jpg




y=f(x) のグラフを考えると,その概形は
下に凸→上に凸→平坦→下に凸→上に凸→平坦→…
繰り返しながら階段上に増加して極限に向かっていくような形をしており,水平には近づいていかないというものになっています。


では,
「 x>0 において単調増加かつ微分可能な f(x) について,有限な極限値  
が存在し,  も有限の値であるときは  が成り立つ」


という主張ならばどうでしょうか?
これは正しい内容です。背理法を用いて検証してみましょう~
導関数の極限が0以外の値 k だったとすると不合理であることを見てみます。
平均値の定理から  (x<c<x+2) を満たす c が取れますが
x が十分に大きいとき f(x+2)-f(x) は0に近い値になっているはずなので  もほぼ0のはずなのですが,
本当は k に近い値でないといけないのでおかしいというような流れです~

pp21.jpg
pp22.jpg

 





今回の誤答例のような誤解は極限を取り扱う際には非常によく起きがちです~
つねに慎重に思考しましょう~ onigiri_1.gif



それでは正答例にいきます~




pp3.jpg
pp2.jpg

pp4.jpg







なお,今回の例題の f(x) は下図の斜線部の面積を表します。

pp5.jpg

x→∞ とすると,斜線部の範囲が有限の範囲ではなくなってしまい,面積が無限大になってしまいそうにも
見えますが面積の極限が2に収束してしまいます。

これを  のように書き,このような積分は広義積分と呼ばれます~ zashiki.gif


また任意の自然数 n に対し,  が成り立ちます。
興味があればガンマ関数について調べてみてください~













  
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