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誤答から学ぼうシリーズ・関数の極限と漸近線

2016.08.07 00:59|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は前回の話題と割と近しいですが,関数のグラフの漸近線に関する誤答を見てみます~



問題:  とおく。関数 y=f(x) のグラフの漸近線の方程式を求めよ。




それでは誤答例にいきます~



pp6.jpg
pp7.jpg



誤答例ではまず y 軸に平行な漸近線として x=0, x=1 の2本を求めています。
分母が0になってしまう x の値に着目したわけですね。
しかしながら,実は直線 x=0 は漸近線ではありません~
x→0 のとき f(x)→-1 が成り立ち, f(0)=-1 と定めれば関数 f(x) は x=0 で連続になってしまいます。
分母→0 だからといって漸近線が出てくるとは限らないわけです~

誤答例では続いて,  が存在しないこと,すなわち接線の傾きが極限を持たないことを理由に
x→±∞ において y=f(x) のグラフが直線に漸近しないことを述べています。
こちらは果たして正当化できるのでしょうか~

例えば,関数  は直線 y=0 を漸近線に持ちますが,  
を満たしますし,関数  は直線 x=1 を漸近線に持ちますが, 
  を満たします。
やはり,漸近線を持つなら導関数の極限は存在するのでしょうか。

今回の例題の関数ですが,導関数の極限は存在しませんが,元々の f(x) 自体は0に収束します。
y=f(x) のグラフの概形は以下のようになっています。

pp23.jpg


限りなく直線 y=0 に近づいていくのは分かるでしょうか。
y=0 は漸近線になっているんですね
このように,接線の傾きが極限を持たなくても f(x) が極限を持っていれば漸近線を持ってしまうわけです。

2つの極限  が定まるときに
直線 y=ax+b が漸近線になるという性質を使ってもいいですね。

接線の傾きが極限を持たないけれども元の関数は有限な極限を持つ例は前回の記事でも構成しましたね。
接線の傾きも元の関数も極限を持たなくても  
は定まるような例だって構成できます。
今回の例題で出てきた f(x) に対し,関数 y=x+f(x) を考えてみると良いでしょう



pp24.jpg


この関数のグラフは直線 y=x を漸近線に持ちます~ suika.gif



それでは正答例にいきましょう~




pp8_2016080700522234b.jpg
pp9.jpg

pp10.jpg









  
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