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誤答から学ぼうシリーズ・余弦定理を用いて三角形を解く

2016.08.11 02:32|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ げろ



今回は三角形を解く問題に関する誤答です~
三角形を解く」とは3辺,3角のうちいくつかが分かっているときに,
残りのまだ分かっていない要素を求めていくことを指します~


問題: 次の各問いに答えよ。
(1) AB=5, BC=3,  であるとき,ACの長さを求めよ。
(2) AB=4,  であるとき,ACの長さを求めよ。
(3) AB=3, BC=5, ∠A=2∠C であるとき,ACの長さを求めよ。



それでは誤答例を挙げます~

qq1.jpg


qq2.jpg



このように正弦定理や余弦定理を駆使して,既に分かっている辺や角の情報から残りの要素を求めていく
という趣旨の問題が三角比の単元ではよく見られますね~
誤答例では(1)~(3)いずれも余弦定理を用いて AC=x に関する2次方程式を立てて,
それを解くことによって答えを得ています。いずれにおいても x の値が2つずつ出てきましたが,
その2つ両方が正解になっているのは(1)だけなんです~
(2),(3)は2つのうち一方のみが正解で他方は不適になっています~
余弦定理で立式した場合,不適な解が混じり込む危険性があるということが今回のポイントになります~ dog_happy.gif
それではどうやって適・不適を見極めるか,あるいは何故不適なものが混じり込むのか,
そういった辺りに着目していきたいと思います~


そこで考えたいのは,下図のような場面です。2辺の長さ AB=c, BC=a と ∠A=θ が分かっている
ときに,残りの辺の長さ x を求めたいという状況です~

qq4.jpg




余弦定理から,



という2次方程式を得ますね。
ここで,条件を満たす三角形が確実に存在すると仮定します~
(注:数値の組合せによっては存在しないこともあります。例: AB=5, BC=3, ∠A=60°)

そうすると,この2次方程式は少なくとも1個の正の実数解 α を持ちます。
もう1つの解(重解含む)を β とすると,解と係数の関係から 
が成り立つのだから, c>a  ならば β>0, c=a ならば β=0, c<a ならば β<0
となるわけです。
ということは c≦a であれば正の解は1個しか無いわけだから AC=α で決まってしまいます eto_u.gif
他方で, c>a である場合はACの長さの候補が2個出てくることになります。

この2個はどちらも条件に適します。下図を見てもらいたいのですが,頂点 C の取り方が 
 の2通りあります。
 α>β と仮定すると, ∠C が鋭角のときは AC=α で,
∠C が鈍角のときには AC=β が対応します。
α=β のときは ∠C=90° になります。

qq5.jpg


なお c<a の場合,正の解と負の解が1つずつ出てきますが,負の解の方は絶対値を考えると下図の
 における残りの辺の長さを表しています。



の2解が x=-α,-β だからです~


qq6.jpg


さて, c≦a のときは残りの辺の長さが一意的に決まってしまうということですが,
これはつまり三角形が一意的に確定してしまうということなので,
次の命題が真であるということを意味します~ kaeru_en1.gif



qq3.jpg


中学校で三角形の合同条件として次の3つ(直角三角形の合同条件を含めると更にあと2つ)を習ったと思います。

・対応する3組の辺がそれぞれ等しい
・対応する2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
・対応する1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

上記の命題にあるような合同条件は出てきませんね。
余弦定理を用いた説明はなされたわけですが,三角比を用いずに説明するにはどうしたら良いでしょう。
三角比を知らない中学生ならどうやって解決するでしょう。

そこで,図のように辺  を重ねて四角形  を作ります m_0006.gif


qq7.jpg


このとき  であることを確かめてみます。
まず大事なポイントは,3点  は決して一直線上には並んでいないということです~

qq8.jpg


もしも  が一直線上にあると  は  の二等辺三角形になり,
 は大きさの等しい鋭角になります。
また,  より  のうち一方は
90°以上になります。  と仮定して差し支えありません。
このとき,  において  より  となりますが,
 の仮定に反するので不合理です~
よって,3点  は一直線上には並んでいません。
(注: AB>AC のときは一直線上に並ぶ状況もあります)


さて, ∠ABC が鋭角,直角,鈍角にいずれかにかかわらず  は  より
 の二等辺三角形になってしまいます。
このことから  は対応する3辺がそれぞれ等しいことが分かり,
合同であることが分かります m_0100.gif


qq9.jpg




そろそろ元の例題に戻りましょう~
誤答例では(1)~(3)のすべてで c>a  型の状況下で余弦定理を用いているので2つの x の値が出ています。
(1)では追加条件が特に無いので2つの x の値はどちらも解として適しています。
この「どちらも適する」旨まで答案に書いておけばとても丁寧な仕上がりになるでしょう~
また,それを書く習慣があれば不適なものが混じったときに見落とす心配がなくなります。

さて(2)の場合は他に  という条件が与えられています。
余弦定理から得られる2次方程式はこの条件を加味していませんので, ∠A が鋭角であるときの x と
鈍角であるときの x の両方が出てきてしまうわけです。
今回は cos A>0 なので ∠A は鋭角です。出てくる x のうち大きい方の値を選ばなきゃいけません~ m_0074.gif
あるいは  の形で余弦定理を用いれば c<a 型になります~
そもそも2つの x の値が出ないように正弦定理や第1余弦定理(注:普段余弦定理と呼んでいるものは
第2余弦定理といいます)を用いるのも有効です。

(3)でも ∠A=2∠C という追加条件があります。
 より ∠C<30° なので ∠A=2∠C<60° となり, ∠A は鋭角です。
よって,2次方程式の解のうち大きい方を採用しなければいけません~



それでは正答例にいきましょう~ m_0244.gif





qq10.jpg
qq11.jpg



qq12.jpg
qq13.jpg


c<a 型の状況に余弦定理を用いてみます。


qq14.jpg


正弦定理を用いてみます~


qq15.jpg
qq16.jpg



第1余弦定理を用いてみます~


qq17.jpg
qq18.jpg



(3)にいきます~~



qq19.jpg
qq20.jpg


正弦定理を用いてみます~


qq21.jpg
qq22.jpg



c<a 型の状況に余弦定理を用いてみます。


qq21.jpg
qq23.jpg







    
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