誤答から学ぼうシリーズ・余弦定理を用いて三角形を解く

2016年08月11日02:32 誤答から学ぼうシリーズ

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どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです～

今回は三角形を解く問題に関する誤答です～
「三角形を解く」とは３辺，３角のうちいくつかが分かっているときに，
残りのまだ分かっていない要素を求めていくことを指します～

問題：　次の各問いに答えよ。
（１）　AB＝５，　BC＝３，　 $\cos A=\frac{13}{14}$ 　であるとき，ACの長さを求めよ。
（２）　AB＝４，　 $\cos A=\frac{9}{16}\,,\,\cos C=\frac{3}{\,4\,}$ 　であるとき，ACの長さを求めよ。
（３）　AB＝３，　BC＝５，　∠A＝２∠C　であるとき，ACの長さを求めよ。

それでは誤答例を挙げます～

このように正弦定理や余弦定理を駆使して，既に分かっている辺や角の情報から残りの要素を求めていく
という趣旨の問題が三角比の単元ではよく見られますね～
誤答例では（１）～（３）いずれも余弦定理を用いて　AC＝ｘ　に関する２次方程式を立てて，
それを解くことによって答えを得ています。いずれにおいても　ｘ　の値が２つずつ出てきましたが，
その２つ両方が正解になっているのは（１）だけなんです～
（２），（３）は２つのうち一方のみが正解で他方は不適になっています～
余弦定理で立式した場合，不適な解が混じり込む危険性があるということが今回のポイントになります～

それではどうやって適・不適を見極めるか，あるいは何故不適なものが混じり込むのか，
そういった辺りに着目していきたいと思います～

そこで考えたいのは，下図のような場面です。２辺の長さ　AB＝c，　BC＝a　と　∠A＝θ　が分かっている
ときに，残りの辺の長さ　ｘ　を求めたいという状況です～

余弦定理から，

$c^2+x^2-2cx\cos\theta=a^2\Leftrightarrow x^2-(2c\cos\theta)x+c^2-a^2=0$

という２次方程式を得ますね。
ここで，条件を満たす三角形が確実に存在すると仮定します～
（注：数値の組合せによっては存在しないこともあります。例：　AB＝５，　BC＝３，　∠A＝６０°）

そうすると，この２次方程式は少なくとも１個の正の実数解　α　を持ちます。
もう１つの解（重解含む）を　β　とすると，解と係数の関係から　 $\alpha\beta=c^2-a^2$
が成り立つのだから，　ｃ＞a 　ならば　β＞０，　ｃ＝a　ならば　β＝０，　ｃ＜a　ならば　β＜０
となるわけです。
ということは　ｃ≦a　であれば正の解は１個しか無いわけだから　AC＝α　で決まってしまいます

他方で，　ｃ＞a　である場合はACの長さの候補が２個出てくることになります。

この２個はどちらも条件に適します。下図を見てもらいたいのですが，頂点　C　の取り方が　
$C_1\,,\,C_2$ 　の２通りあります。
　α＞β　と仮定すると，　∠C　が鋭角のときは　AC＝α　で，
∠C　が鈍角のときには　AC＝β　が対応します。
α＝β　のときは　∠C＝９０°　になります。

なお　ｃ＜a　の場合，正の解と負の解が１つずつ出てきますが，負の解の方は絶対値を考えると下図の
$\triangle ABC_2$ 　における残りの辺の長さを表しています。

$c^2+x^2-2cx\cos(180^\circ-\theta)=a^2\Leftrightarrow (-x)^2-\left (2c \cos\theta \right )(-x)+c^2-a^2=0$

の２解が　ｘ＝－α，－β　だからです～

さて，　ｃ≦a　のときは残りの辺の長さが一意的に決まってしまうということですが，
これはつまり三角形が一意的に確定してしまうということなので，
次の命題が真であるということを意味します～

中学校で三角形の合同条件として次の３つ（直角三角形の合同条件を含めると更にあと２つ）を習ったと思います。

・対応する３組の辺がそれぞれ等しい
・対応する２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
・対応する１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

上記の命題にあるような合同条件は出てきませんね。
余弦定理を用いた説明はなされたわけですが，三角比を用いずに説明するにはどうしたら良いでしょう。
三角比を知らない中学生ならどうやって解決するでしょう。

そこで，図のように辺　 $BC\,,\,B^\prime C^\prime$ 　を重ねて四角形　 $ABA^\prime C$ 　を作ります

このとき　 $\triangle ABC\equiv \triangle A^\prime B C$ 　であることを確かめてみます。
まず大事なポイントは，３点　 $A\,,\,C\,,\, A^\prime$ 　は決して一直線上には並んでいないということです～

もしも　 $A\,,\,C\,,\, A^\prime$ 　が一直線上にあると　 $\triangle ABA^\prime$ 　は　 $BA=BA^\prime$ 　の二等辺三角形になり，
$\angle A\,,\,\angle A^\prime$ 　は大きさの等しい鋭角になります。
また，　 $\angle ACB+\angle A^\prime CB=180^\circ$ 　より　 $\angle ACB\,,\,\angle A^\prime CB$ 　のうち一方は
９０°以上になります。　 $\angle A^\prime CB\geqq 90^\circ$ 　と仮定して差し支えありません。
このとき，　 $\triangle A^\prime BC$ 　において　　より　<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=BC<&space;A^\prime&space;B" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?BC<&space;A^\prime&space;B" title="BC< A^\prime B" />　となりますが，
　の仮定に反するので不合理です～
よって，３点　 $A\,,\,C\,,\, A^\prime$ 　は一直線上には並んでいません。
（注：　AB＞AC　のときは一直線上に並ぶ状況もあります）

さて，　∠ABC　が鋭角，直角，鈍角にいずれかにかかわらず　 $\triangle CAA^\prime$ 　は　 $\angle CAA^\prime =\angle CA^\prime A$ 　より
$CA= CA^\prime$ 　の二等辺三角形になってしまいます。
このことから　 $\triangle ABC\,,\,\triangle A^\prime BC$ 　は対応する３辺がそれぞれ等しいことが分かり，
合同であることが分かります

そろそろ元の例題に戻りましょう～
誤答例では（１）～（３）のすべてで　ｃ＞a 　型の状況下で余弦定理を用いているので２つの　ｘ　の値が出ています。
（１）では追加条件が特に無いので２つの　ｘ　の値はどちらも解として適しています。
この「どちらも適する」旨まで答案に書いておけばとても丁寧な仕上がりになるでしょう～
また，それを書く習慣があれば不適なものが混じったときに見落とす心配がなくなります。

さて（２）の場合は他に　 $\cos A=\frac{9}{\,16\,}$ 　という条件が与えられています。
余弦定理から得られる２次方程式はこの条件を加味していませんので，　∠A　が鋭角であるときの　ｘ　と
鈍角であるときの　ｘ　の両方が出てきてしまうわけです。
今回は　cos A＞０　なので　∠A　は鋭角です。出てくる　ｘ　のうち大きい方の値を選ばなきゃいけません～

あるいは　 $4^2+x^2-2\cdot 4\cdot x\cdot \cos A=5^2$ 　の形で余弦定理を用いれば　ｃ＜a　型になります～
そもそも２つの　ｘ　の値が出ないように正弦定理や第１余弦定理（注：普段余弦定理と呼んでいるものは
第２余弦定理といいます）を用いるのも有効です。

（３）でも　∠A＝２∠C　という追加条件があります。
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\cos&space;C=\frac{5}{\,6\,}<\frac{\sqrt{3}}{2}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos&space;C=\frac{5}{\,6\,}<\frac{\sqrt{3}}{2}" title="\cos C=\frac{5}{\,6\,}<\frac{\sqrt{3}}{2}" />　より　∠C＜３０°　なので　∠A＝２∠C＜６０°　となり，　∠A　は鋭角です。
よって，２次方程式の解のうち大きい方を採用しなければいけません～

それでは正答例にいきましょう～