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区別のあるサイコロと区別のないサイコロ

2012.10.17 08:27|数学
どもども。


確率の問題では,サイコロを投げて出た目の数字がどーのこーのw02.gif
という問題がよく出てきます。

今日はサイコロを2回投げるというシチュエーションについて考えてみますね

「サイコロを2回投げる」といっても,問題によってシチュエーションは様々です。

 1つのサイコロを続けて2回投げる
 2つの区別のないサイコロを同時に投げる
 2つの区別のないサイコロを1個ずつ続けて投げる
 2つの区別のあるサイコロを同時に投げる
 2つの区別のあるサイコロを1個ずつ続けて投げる

区別のある・ないとはどういうことかというと,
例えばどっちがどっちだか判別できない全く同種のサイコロであるときが「区別がない」状態で,
一方で,赤いサイコロと白いサイコロ,大きいサイコロと小さいサイコロ,
重いサイコロと軽いサイコロなど,何らかの区別が出来る場合が「区別のある」状態ですakaname.gif

赤いサイコロと白いサイコロのように,区別のある2個のサイコロを投げると「1の目と4の目が出る」という事象も
「赤いサイコロが1,白いサイコロが4」
「赤いサイコロが4,白いサイコロが1」
と2通りの場合に分けられてしまいます。
区別のないサイコロだと分けることが出来ません。
単に「1と4の目が1個ずつ出た」というだけであって,それ以上でもそれ以下でもないです。

さて,実際に問題が出されたときに,全体の場合の数を求めたり
何らかの事象が起こる場合の数を求めたりするかと思いますが,
その際に,順列を用いるか,組み合わせを用いるか,
これで迷うという人がいるかもしれません

今回はそーーいう話ですdog_smile.gif




さっき挙げた5つのシチュエーションについて考えてみます。

 1つのサイコロを続けて2回投げる

問題:1つのサイコロを続けて2回投げたとき,1の目と2の目が1回ずつ出る確率は?


これは,順列を利用して考えるか,
あるいは独立な試行における乗法定理を活用して考えるかの
大体どちらかであると思いますkaeru13.gif

1回目のサイコロ投げと2回目のサイコロ投げを独立な試行とみなして考えると
1回目に1,2回目に2が出る確率が (1/6)×(1/6)=1/36
1回目に2,2回目に1が出る確率が (1/6)×(1/6)=1/36
この2パターンは互いに排反なので,求める確率は 1/36+1/36=1/18
と答えが出せますね。

とりあえず今は順列かを使うか組合せを使うか,という話が主題なので,独立試行の考え方は一旦置いておいて
次は順列を使って考えることにしましょう~
全体の場合の数を求めてみます~

1回目の試行では1~6までの6通り,2回目の試行でも1~6までの6通り,
よって6×6=36より,36通りというのが全体の場合の数ですtakenoko03.gif

(1回目の出目,2回目の出目)で表すと具体的には

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

の36通りです。
1の目と2の目が1回ずつ出る,というシチュエーションは
(1,2)と(2,1)の2通りありますね
したがって,確率は2/36=1/18となります


この問題を順列ではなく,組み合わせを利用して解くとしたらどうなるでしょうか。
まずは場合の数を求めます。
何の組み合わせの数を求めるか,ですが(1回目の出目,2回目の出目)という順序つきの組で考えると,
これは順列と変わりがありませんsuika.gif
順序がつくなど何かしら対等性を損なう条件がつくと順列も組み合わせも同じになってしまいますね。

そこで,出る順番は気にしないことにして,とりあえず出てくる2つの目の数字の組み合わせを考えるならば
(1,2)と(2,1)は同じもの(1の目が1回かつ2の目が1回)を表すことになるので

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,4)(4,5)(4,6)
(5,5)(5,6)
(6,6)

の21通りあります。これがクセモノです。
1と2の目が1回ずつ出る組み合わせは(1,2)だけなので
確率は1/21であるとするのは間違いです。
確かにさっき出した答えの1/18とも一致しませんしねkoinoburi10.gif

答えが一致しなくなった理由は,
この21通りのパターンがどれも等しい確率で起きるわけではないからです
(1,1)というのは1回目1,2回目1の場合に限られますが,
(1,2)というのは1回目1,2回目2の場合と
2回目2,1回目1の場合とで2通りあるから起こりやすさが(1,1)の2倍です。
よって(1,1)と(1,2)は対等に扱うわけにはいかないんですkinoko05.gif
単純に組み合わせの種類の数で考えるとこのような落とし穴に遭遇する可能性があります。
それぞれのパターンごとに起きやすさがバラバラでは,同等に扱えませんね!
「同様に確からしい」というキーワードをよく目にするかと思います。
これは,どのパターンも等確率で起きますよーー
起こりやすさは公平ですよーーということを意味しています。
今の場合,21通りあるパターンのそれぞれ起きる確率が
同様に確からしくないんですk-01.gif

例えば,当たりが1枚,ハズレが999枚あるくじを1枚引くというシチュエーションでは
「当たりを引く」 「ハズレを引く」の2通りの結果しか起き得ませんが,
当たりを引く確率は1/1000です。よほどの強運が無いと当たりを引けません。
当たりかハズレかどちらか一方なのに,確率が1/2でないのは
「当たりを引く」と「ハズレを引く」の起こりやすさが均等ではなく,対等に扱えないからなんですねikari01.gif

確率の問題では,場合の数を考察するときは常に起こりやすさが等しい物たちをカウントしなければなりません。

当たりを引く確率が1/1000というのは,999枚あるハズレをすべて区別して扱っています。
つまりハズレ1番~ハズレ999番まであって全て別物であると考えます。
ハズレくじを引いたとき,見た目ではどの番号のハズレを引いたのか区別はつかないかもしれませんが
実際には1番から999番までのうちのどれかを引いていますし,
どれを引くのも起こりやすさは均等です。
このために全体の場合の数が1000通りになっているんですね。


 2つの区別のないサイコロを同時に投げる
問題:2つの区別のないサイコロを同時に投げるとき,1と2の目が1個ずつ出る確率は?

こういうタイプの問題が非常に悩ましいと思いますhiyoko03(1).gif
順列で考えるのか,組み合わせで考えるのか。

順列で考えるとしたら,何の順列を考えたらいいのでしょう。
(1個目の出目,2個目の出目)の順列を考えようにも,
区別が無いのでどっちが1個目でどっちが2個目かわかりません。
それなら区別をつけてみてはどうでしょう。

2個のサイコロを同じ器の中に投げ入れたら確かにどっちがどっちかわかりません。
では赤い器と青い器を準備して,それぞれに1個ずつ投げ入れたらどうでしょう。
これなら区別のないサイコロを同時に投げても(赤い器のほうの数字,青い器のほうの数字)という風に区別できます。
もちろん区別の仕方は何でもいいです。
器を分けなくても,例えば片方のサイコロに星印を描いてから投げるとかでも区別が出来ますね。

気になるのは,そんな風に勝手に区別をつけてもいいのだろうか,という点です。
そんなことをしたら条件が変わるので,確率も変わるんじゃないだろうか??bikkuri01(1).gif
この疑問を克服できるかどうかがとても重要です。
実は確率は変わらないんです!

ものすごいでっかい黒い箱を準備して,
その箱の中に,赤い器と青い器を置いてみましょう。
そして,赤い器と青い器に1個ずつ同時にサイコロを投げ入れるというシチュエーションを考えてみます。

どちらの器も黒い箱の中に置いてあるわけですから
これは,1つの(黒い)箱の中に同時にサイコロを2個投げている
というシチュエーションとしても解釈できますxmas_tonakai.gif

「赤い器と青い器に1個ずつサイコロを投げ入れる」
「黒い箱に区別のないサイコロを2個投げ入れる」


いま,この2つは見方が違うものの同じ状況なので
どちらの解釈をすることも出来ますwinkapa.gif


「赤い器と青い器に1個ずつサイコロを投げ入れたとき,1と2の目が1個ずつ出る」
「黒い箱に区別のないサイコロを2個投げ入れたとき,1と2の目が1個ずつ出る」


この2つの事象は見方が違ってるだけで同じ事象です。
すなわち等確率で起きます tanuki.gif

(赤い器の数字,青い器の数字)の順列は36通りで
(1,2)(2,1)の2通りがあるから問題の答えは2/36=1/18
となり,最初の問題と同じ値になりましたtankoro.gif


組み合わせで考える場合,1/21にしてはいけないことは1つ前の問題と同じです。
(1,1)と(1,2)は対等には扱えません。



 2つの区別のないサイコロを1個ずつ続けて投げる
問題:2つの区別のないサイコロを1個ずつ続けて投げるとき,1と2の目が1回ずつ出る確率は?

これも上2つのシチュエーションと同列に扱うことが出来ます。
サイコロ自体は区別が無いかもしれませんが,(1個目の数字,2個目の数字)で区別をつけることが出来るので,1つのサイコロを2回続けて投げる操作と違いがありません。

よって確率はやはり1/18なのですkuma_fly.gif



 2つの区別のあるサイコロを同時に投げる
問題:2つの区別のあるサイコロを同時に投げるとき,1と2の目が1回ずつ出る確率は?

やはりこれも上3つのシチュエーションと同等です。
最初から区別があるのでむしろ親切ですね!
確率は1/18です~korobo.gif

区別のない2個のサイコロを赤と黒の2つのサイコロに替えたところで
特定の出目が出やすくなるなんてことは普通ないことは
冷静に考えてみると当たり前のような気もしますね。


 2つの区別のあるサイコロを1個ずつ続けて投げる
問題:2つの区別のあるサイコロを1個ずつ続けて投げるとき,1と2の目が1回ずつ出る確率は?

これもやはり今までのシチュエーションと同等に扱えますね~
したがって答えは1/18です~




結局どの投げ方でも確率が1/18になってしまいました。
区別のある・ないは特に重要なポイントではなかったということなのでしょうか。
区別のつく・つかないが重要になるのは主に場合の数の計算においてです。
起こりやすさの違いは一切無視して単純に起こり得る現象の種類を数える場面なのか
それとも起こりやすさも踏まえて数えるのかをその都度見きわめなければいけません。


確率の問題では「同様に確からしい」ことを担保するため,起こりやすさも踏まえて考えなければならないので
はじめに区別があってもなくても,結果的に区別をつけて考えることが多いです。
事象の起きやすさの考察に関しては,何が「同様に確からしい」かが重要になります。
起こりやすさの違う事象を同等に扱うことは出来ない,ということは
確率の問題解く上で頭に入れておくといいと思いますkawauso.gif

宝くじの一等が「あたる」「あたらない」くらい極端に起こりやすさが違うなら
イメージが沸きやすいですが,
サイコロを2,3回投げたときの出目の起こりやすさみたいな程度の話では,
なかなかイメージは沸きにくかったりすることもあります。

そういときは宝くじくらい極端な例をイメージするとイメージ掴みやすくなりますよ
区別のないサイコロだったら,1万個くらい振ると思えばいいです。
「全部1の目が出る」事象と「1の目が5000個,2の目が5000個出る」事象を考えると,
「全部1の目が出る」ようなウルトラ奇跡に比べたら
「1の目が5000個,2の目が5000個出る」くらいの奇跡の方がなんとなく
まだ少しは起きやすい気がしますよねrabi_love.gif
この2つの事象は起こりやすさが違うんです。

このように,常に事象の起こりやすさには注意を払わなければいけません。






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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:数学 確率 サイコロ 区別 同様に確からしい 重複組合せ 組合せ 順列 起こりやすさ

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